الأسبوع 5 · Using the regression line: predicting y, the error of a prediction, extrapolation and regression from given sums · 3 دروس
1
مثال كامل على الانحدار: المجاميع وb وa والخط والتنبؤ والخطأ عند نقطة معلومة
Statistics Sec 3 Term 1, Unit 1, Lesson 2
Goalأنفّذ انحدارًا كاملًا: المجاميع و b و a والخط والتنبؤ والخطأ عند نقطة معلومة.
New words
التنبؤ · قيمة ŷ التي يعطيها الخط عند قيمة مختارة لـ xخطأ التنبؤ · |y المرصودة − ŷ| عند نقطة معلومةالاستكمال داخل المدى · التنبؤ لقيمة x داخل مدى البيانات
Explanation
تسجّل مزرعة لثماني نخلات الماء المستعمل في الري كل شهر x (بالمتر المكعب) وكمية التمر المحصودة y (بالكيلوجرام). المجاميع الخمسة في الجدول: n = ٨ وΣx = ٤٣ وΣy = ٢٩٠ وΣxy = ١٧٧٧ وΣx² = ٢٧٧. أولًا b = (nΣxy − Σx·Σy) ÷ (nΣx² − (Σx)²) = (٨ × ١٧٧٧ − ٤٣ × ٢٩٠) ÷ (٨ × ٢٧٧ − ٤٣²) = ١٧٤٦ ÷ ٣٦٧ = ٤٫٧٥٧٥. ثم a = (Σy − bΣx) ÷ n = (٢٩٠ − ٤٫٧٥٧٥ × ٤٣) ÷ ٨ = ١٠٫٦٧٨. وخط انحدار y على x هو ŷ = ١٠٫٦٧٨ + ٤٫٧٥٧٥x: كل متر مكعب إضافي من الماء يزيد المحصول نحو ٤٫٧٦ كجم من التمر. وللتنبؤ نعوّض x في الخط. ولإيجاد الخطأ عند نقطة معلومة نطرح: الخطأ = |y المرصودة − ŷ|. واحتفظ بقيمة b غير المقرَّبة أثناء العمل وقرّب الجواب النهائي فقط؛ ولذلك قد يختلف شخصان في الخانة العشرية الأخيرة. ويبيّن الشكل النقاط الثماني والخط.
الماء x (م³)
التمر y (كجم)
xy
x²
y²
2
21
42
4
441
3
26
78
9
676
3
24
72
9
576
5
35
175
25
1225
6
36
216
36
1296
7
47
329
49
2209
8
44
352
64
1936
9
57
513
81
3249
Σx = 43
Σy = 290
Σxy = 1777
Σx² = 277
Σy² = 11608
Worked examples
تنبؤ داخل المدى. بـ ٤ م³ من الماء: ŷ = ١٠٫٦٧٨ + ٤٫٧٥٧٥ × ٤ = ٢٩٫٧١ كجم. تتراوح قيم x في البيانات من ٢ إلى ٩ والقيمة ٤ داخل هذا المدى، فالتنبؤ موثوق.
الخطأ عند نقطة معلومة. النخلة التي رُويت بـ x = ٧ م³ أعطت y = ٤٧ كجم. ويعطي الخط ŷ = ١٠٫٦٧٨ + ٤٫٧٥٧٥ × ٧ = ٤٣٫٩٨ كجم فالخطأ |٤٧ − ٤٣٫٩٨| = ٣٫٠٢ كجم. والنقطة فوق الخط.
فحص. المتوسطان x̄ = ٤٣ ÷ ٨ = ٥٫٣٧٥ وȳ = ٢٩٠ ÷ ٨ = ٣٦٫٢٥، ويعطي الخط عند x̄ القيمة ١٠٫٦٧٨ + ٤٫٧٥٧٥ × ٥٫٣٧٥ = ٣٦٫٢٥: فهو يمر بالنقطة (x̄, ȳ)، وهذا يرجّح صحة b و a. وإشارة b موجبة مثل إشارة r (وهي ٠٫٩٧٣٦).
Class activity
بالخط ŷ = ١٠٫٦٧٨ + ٤٫٧٥٧٥x أوجد المحصول المتوقع لـ ٣ م³ ولـ ٨ م³ من الماء. ثم قارن تنبؤ ٨ م³ بالنخلة الحقيقية في الجدول التي رُويت بـ ٨ م³ (٤٤ كجم) وأوجد الخطأ.
Practice
1
تنبأ بالمحصول لـ ٥ م³ من الماء بالخط ŷ = ١٠٫٦٧٨ + ٤٫٧٥٧٥x.
