مسلّمة · قاعدة نقبلها لكل احتمالنتيجة · قاعدة تُستنتج من المسلماتقاعدة الجمع · P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Explanation
يخضع الاحتمال لثلاث قواعد هي المسلمات. (١) ٠ ≤ P(A) ≤ ١ لكل حدث A من S. (٢) P(S) = ١. (٣) إذا كان A و B متنافيين فإن P(A ∪ B) = P(A) + P(B)، ويصح ذلك لأي عدد منته من الأحداث المتنافية مثنى مثنى. وكل ما عدا ذلك نتائج. فالحدثان S و ∅ متنافيان واتحادهما S ∪ ∅ = S، فتعطي المسلمة الثالثة P(S) = P(S) + P(∅) ومنه P(∅) = ٠. والحدثان A و A′ متنافيان واتحادهما S، فيكون P(A) + P(A′) = ١ ومنه P(A′) = ١ − P(A). ويتجزأ الحدث A إلى جزأين متنافيين هما A − B وA ∩ B، فيكون P(A) = P(A − B) + P(A ∩ B) ومنه P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B). ويتجزأ الحدث A ∪ B إلى جزأين متنافيين هما A − B و B، فيكون P(A ∪ B) = P(A) − P(A ∩ B) + P(B). وأخيرًا إذا كان A ⊂ B فإن P(A) ≤ P(B)، فالمجموعة الأكبر لا يمكن أن تكون أقل احتمالًا. ويسمّي الشكل المناطق الأربع لحدثين.
يستقر مؤشر دوّار على الأحمر باحتمال ٠٫٣٥ وعلى الأزرق باحتمال ٠٫٢٥، ويقع المؤشر في قطاع واحد في كل مرة، فالأحمر والأزرق متنافيان. بالمسلمة الثالثة P(أحمر أو أزرق) = ٠٫٣٥ + ٠٫٢٥ = ٠٫٦٠، وP(لا أحد منهما) = ١ − ٠٫٦٠ = ٠٫٤٠.
مجموعة جزئية. إذا كان A ⊂ B مع P(A) = ٠٫٢ وP(B) = ٠٫٥ فإن A ∩ B = A، ومنه P(B − A) = P(B) − P(A ∩ B) = ٠٫٥ − ٠٫٢ = ٠٫٣، وP(A) = ٠٫٢ ≤ ٠٫٥ = P(B) كما تقول قاعدة المجموعات الجزئية.
Class activity
على ورق مربعات ارسم مربعًا ١٠ × ١٠: مربعاته الصغيرة المئة تمثّل S، فيكون كل مربع صغير ٠٫٠١. ظلّل ٥٥ مربعًا للحدث A و٤٠ مربعًا للحدث B بحيث يظلَّل ٢٥ مربعًا مرتين بالضبط. عُدّ المربعات في A ∪ B وفي A′ وفي الجزء الخارج عن الحدثين معًا، وتحقق أن هذه الأعداد مقسومة على ١٠٠ توافق النتائج.
