الأسبوع 13 · Conditional probability: the reduced sample space, P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B), the multiplication rule, two-way tables, tree and Venn diagrams · 3 دروس
1
من P(A) إلى P(A | B): معرفة وقوع حدث تصغّر فضاء العينة، والقانون P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B)
Statistics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lesson 2
Goalأشرح لماذا تصغّر معرفة وقوع B فضاء العينة، وأحسب P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B).
New words
الاحتمال الشرطي P(A | B) · احتمال A علمًا بأن B قد وقععلمًا بأن · العبارة التي تُدخل الشرطفضاء العينة المصغّر · الحدث B نفسه بعد أن عرفنا وقوعه
Explanation
أحيانًا نعرف شيئًا عن النتيجة قبل أن نراها. يُلقى حجر نرد ويقول صديق إن العدد زوجي. كان احتمال «أكبر من ٣» قبل الخبر ٣/٦ = ١/٢. أما الآن فلم يبقَ ممكنًا إلا ٢ و٤ و٦، واثنان منها (٤ و٦) أكبر من ٣، فيصبح الاحتمال ٢/٣. إن معرفة وقوع B صغّرت فضاء العينة من S إلى B. وبوجه عام فإن P(A | B)، ويُقرأ «احتمال A علمًا بأن B»، هو نصيب B الذي يقع أيضًا في A: P(A | B) = n(A ∩ B) ÷ n(B) = P(A ∩ B) ÷ P(B) حيث P(B) > ٠. والقسمة على P(B) هي الخطوة التي تجعل B هو الكل الجديد، فيكون P(B | B) = ١. وتتفق الصيغتان لأن العامل المشترك ١ ÷ n(S) يُختصر. اقرأ الصياغة بدقة: الحدث الذي يلي «احتمال» هو المطلوب، والحدث الذي يلي «علمًا بأن» هو الشرط. ويسرد الجدول النواتج الستة لحجر النرد.
1
2
3
4
5
6
زوجي (B)
لا
نعم
لا
نعم
لا
نعم
أكبر من ٣ (A)
لا
لا
لا
نعم
نعم
نعم
كلاهما (A ∩ B)
لا
لا
لا
نعم
لا
نعم
Worked examples
حجر النرد في الجدول، مع A «أكبر من ٣» و B «زوجي». فضاء العينة المصغّر B = {٢, ٤, ٦} وA ∩ B = {٤, ٦}. إذن P(A | B) = ٢/٣. وبالصيغة: P(A ∩ B) ÷ P(B) = (٢/٦) ÷ (٣/٦) = ٢/٣. رفع الشرط الاحتمال من ١/٢ إلى ٢/٣.
فضاء العينة المصغّر: الحجر الأول زوجي (المجاميع معروضة)
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
11
12
حجرا نرد. أوجد احتمال أن يكون المجموع ٨ علمًا بأن الحجر الأول زوجي. الحجر الأول ٢ أو ٤ أو ٦، فيضم فضاء العينة المصغّر ٣ × ٦ = ١٨ زوجًا يعرضها الجدول. يظهر المجموع ٨ في ٣ منها هي (٢, ٦) و(٤, ٤) و(٦, ٢). فالاحتمال ٣/١٨ = ١/٦. وبلا شرط يكون P(المجموع ٨) = ٥/٣٦ وهو أصغر قليلًا.
ثلاث قطع نقود. أوجد احتمال صورتين بالضبط علمًا بأن فيها صورة واحدة على الأقل. «صورة واحدة على الأقل» تُبقي ٧ من ٨ نواتج (كلها عدا TTT). ومن بينها HHT وHTH وTHH فيها صورتان بالضبط. إذن الجواب ٣/٧. وبالصيغة: (٣/٨) ÷ (٧/٨) = ٣/٧. أما احتمال صورتين بالضبط بلا شرط فهو ٣/٨، فقد غيّر الشرط الجواب.
Class activity
اكتب الأعداد من ١ إلى ١٢ على قصاصات. افترض أن شخصًا أخبرك فقط أن العدد المسحوب أولي. اكتب فضاء العينة المصغّر، وأوجد P(فردي | أولي) وقارنه بـ P(فردي) = ١/٢. اشرح في جملة لماذا يختلف الجوابان.
Practice
1
يُلقى حجر نرد. ليكن A «٥ أو ٦» و B «أكبر من ٢». أوجد P(A | B).
B = {٣, ٤, ٥, ٦} وA ∩ B = {٥, ٦} فيكون P(A | B) = ٢/٤ = ١/٢.
2
لمؤشر دوّار ١٢ قطاعًا متساويًا مرقّمة من ١ إلى ١٢. أوجد احتمال أن يكون العدد مضاعفًا للعدد ٤ علمًا بأنه زوجي.
الأعداد الزوجية {٢, ٤, ٦, ٨, ١٠, ١٢} ومضاعفات ٤ بينها هي ٤ و٨ و١٢. إذن ٣/٦ = ١/٢ (قارن ٣/١٢ = ١/٤ بلا شرط).
3
تُلقى قطعتا نقود. أوجد P(صورتان | صورة واحدة على الأقل).
صورة على الأقل: HH, HT, TH ولا يضم صورتين إلا HH، فالجواب ١/٣.
