استعمال خط الانحدار
Answers are for parents and teachers.
1
يسجّل مزارع كمية السماد x (كجم للهكتار) والمحصول y (طن للهكتار): x = ٢٠, ٤٠, ٥٠, ٧٠, ٨٠, ١٠٠ وy = ١٢, ١٧, ١٨, ٢٤, ٢٥, ٣١. أوجد خط y على x وتنبأ بالمحصول عند ٦٠ كجم وأوجد الخطأ عند x = ٧٠.
| x | 20 | 40 | 50 | 70 | 80 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 12 | 17 | 18 | 24 | 25 | 31 |
Σx = ٣٦٠ وΣy = ١٢٧ وΣxy = ٨٦٠٠ وΣx² = ٢٥٨٠٠. b = (٥١٦٠٠ − ٤٥٧٢٠) ÷ (١٥٤٨٠٠ − ١٢٩٦٠٠) = ٥٨٨٠ ÷ ٢٥٢٠٠ = ٠٫٢٣٣٣؛ a = (١٢٧ − ٠٫٢٣٣٣ × ٣٦٠) ÷ ٦ = ٧٫١٧. الخط ŷ = ٧٫١٧ + ٠٫٢٣٣٣x. عند ٦٠ كجم: ٢١٫١٧ طنًّا. وعند x = ٧٠: ŷ = ٢٣٫٥ والخطأ |٢٤ − ٢٣٫٥| = ٠٫٥ طن.
2
يتسرب الماء ببطء من خزان. يُقاس تغيّر مستواه y (سم) بعد x = ٢, ٤, ٦, ٨, ١٠ ساعات: y = −١٫٥, −٣٫١, −٤٫٤, −٦٫٢, −٧٫٤. أوجد الخط وتنبأ بالتغير بعد ٦ ساعات وأوجد الخطأ بالنسبة إلى القيمة المقيسة.
| x | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | −1.5 | −3.1 | −4.4 | −6.2 | −7.4 |
Σx = ٣٠ وΣy = −٢٢٫٦ وΣxy = −١٦٥٫٤ وΣx² = ٢٢٠. b = (٥ × (−١٦٥٫٤) + ٣٠ × ٢٢٫٦) ÷ (١١٠٠ − ٩٠٠) = −١٤٩ ÷ ٢٠٠ = −٠٫٧٤٥؛ a = (−٢٢٫٦ + ٠٫٧٤٥ × ٣٠) ÷ ٥ = −٠٫٠٥. الخط ŷ = −٠٫٠٥ − ٠٫٧٤٥x. بعد ٦ ساعات: ŷ = −٠٫٠٥ − ٤٫٤٧ = −٤٫٥٢ سم؛ والقيمة المقيسة −٤٫٤ فالخطأ |−٤٫٤ − (−٤٫٥٢)| = ٠٫١٢ سم.
3
إذا كان n = ٧ وΣx = ٥١ وΣy = ١٣٦ وΣxy = ١٠٨٧ وΣx² = ٤٣٥ وΣy² = ٢٨٠٤ (x عدد الملصقات المعروضة و y عدد زوار ركن مدرسي) فأوجد r وخط y على x.
البسط ٧ × ١٠٨٧ − ٥١ × ١٣٦ = ٦٧٣؛ والجذران ٧ × ٤٣٥ − ٥١² = ٤٤٤ و٧ × ٢٨٠٤ − ١٣٦² = ١١٣٢. إذن r = ٦٧٣ ÷ √(٤٤٤ × ١١٣٢) = ٠٫٩٤٩٣ وb = ٦٧٣ ÷ ٤٤٤ = ١٫٥١٥٨ وa = (١٣٦ − ١٫٥١٥٨ × ٥١) ÷ ٧ = ٨٫٣٨٥. الخط ŷ = ٨٫٣٨٥ + ١٫٥١٥٨x.
4
بُني الخط ŷ = ١٢ − ٢٫٥x من أعمار ألواح إلكترونية مستعملة من ١ إلى ٤ سنوات (x) وأسعارها بآلاف الجنيهات (y). ماذا يتنبأ به عند عمر ٨ سنوات؟ ولماذا لا يُصدَّق الجواب؟
ŷ = ١٢ − ٢٠ = −٨ آلاف جنيه، أي سعر سالب. فعمر ٨ سنوات بعيد جدًّا عن البيانات (من ١ إلى ٤ سنوات) والسعر لا يقل عن ٠، فلا يوثق بالخط هناك.
5
للخط ŷ = ٤ + ٠٫٨x أوجد الخطأ عند النقطة (٥, ٩)، وقل هل r موجبة أم سالبة.
ŷ = ٤ + ٤ = ٨ فالخطأ |٩ − ٨| = ١. ولأن b = ٠٫٨ موجبة فإن r موجبة.