الأسبوع 2 · Pearson’s linear correlation coefficient: the formula, the table of x, y, x², y² and xy, and finding r from given sums · 3 دروس
1
قانون بيرسون: معنى المجاميع Σx وΣy وΣxy وΣx² وΣy² وكيف تدخل في القانون
Statistics Sec 3 Term 1, Unit 1, Lesson 1
Goalأبيّن معنى كل من المجاميع Σx وΣy وΣxy وΣx² وΣy² وكيف تدخل في قانون بيرسون.
New words
Σ (سيجما) · «مجموع»: اجمع كل القيمΣxy · اضرب عددي كل زوج ثم اجمع النواتجΣx² و(Σx)² · Σx²: ربّع كل x ثم اجمع. (Σx)²: اجمع قيم x ثم ربّع المجموعمعامل ارتباط بيرسون · قيمة r للبيانات العددية، تُحسب من المجاميع الخمسة
Explanation
يحوّل معامل ارتباط بيرسون سحابة النقاط إلى عدد واحد. فإذا كان لدينا n من الأزواج (x, y) فإن r = (nΣxy − Σx·Σy) ÷ (√(nΣx² − (Σx)²) × √(nΣy² − (Σy)²)). ويدل الرمز Σ على «مجموع». فـ Σx يجمع كل قيم x، وΣy يجمع كل قيم y، وΣxy يضرب عددي كل زوج أولًا ثم يجمع النواتج، وΣx² يربّع كل x أولًا ثم يجمع، وΣy² يفعل الشيء نفسه مع y. ولا تخلط بين Σx² و(Σx)²: ففي الأول نربّع ثم نجمع وفي الثاني نجمع ثم نربّع، والنتيجتان مختلفتان. فلماذا هذه المجاميع الخمسة؟ لو لم تكن بين x و y علاقة لكان مجموع الحواصل قريبًا من Σx·Σy ÷ n. والبسط يساوي n مضروبًا في الفرق بين مجموع الحواصل الحقيقي وهذه القيمة «بلا علاقة»: فهو موجب حين تصاحب قيمُ x الكبيرةُ قيمَ y الكبيرة، وسالب حين تصاحبها قيم y الصغيرة. وكل جذر في المقام يقيس مدى تشتت متغير واحد، ولا يساوي صفرًا إلا إذا تساوت كل قيمه. والقسمة على التشتتين تزيل الوحدات وتُبقي r بين −١ و١. والجدول أدناه هو خطوات الحل لخمسة أزواج: عدد بروفات مسرحية مدرسية (x) ودرجة لجنة الحكّام من ١٠ (y).
Σx² مقابل (Σx)². لقيم x = ١, ٢, ٣: Σx² = ١ + ٤ + ٩ = ١٤ بينما (Σx)² = (١ + ٢ + ٣)² = ٣٦. واستعمال أحدهما مكان الآخر يعطي قيمة خاطئة لـ r.
Class activity
اكتب أربعة أزواج من أعداد صحيحة صغيرة (مثل عدد الصفحات المقروءة والدقائق المستغرقة في أربع أمسيات). كوّن الأعمدة الخمسة واحسب المجاميع الخمسة والبسط nΣxy − Σx·Σy. هل هو موجب أم سالب، وهل يوافق طريقة تغيّر الأعداد؟
