الأسبوع 11 · Operations on events, mutually exclusive events and the probability of an event when the outcomes are equally likely · 3 دروس
1
اتحاد حدثين وتقاطعهما وإكمال حدث والفرق بين حدثين، وقانونا دي مورجان
Statistics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lesson 1
Goalأركّب الأحداث بالرموز ∪, ∩, ′, − وأعبّر عن كل منها بالكلمات، وأستعمل قانوني دي مورجان.
New words
اتحاد A ∪ B · يقع A أو B أو كلاهما، أي يقع واحد منهما على الأقلتقاطع A ∩ B · يقع الحدثان معًامكمّل الحدث A′ · لا يقع Aالفرق A − B · يقع A ولا يقع B، ويساوي A ∩ B′
Explanation
الحدث مجموعة من النواتج، ولذلك يمكن تركيب الأحداث كما نركّب المجموعات، ولكل تركيب معنى واضح. لنأخذ مؤشرًا دوّارًا فيه اثنا عشر قطاعًا متساويًا مرقّمة من ١ إلى ١٢، فيكون S = {١, ٢, …, ١٢}، ولنفرض A «عدد زوجي» = {٢, ٤, ٦, ٨, ١٠, ١٢} و B «مضاعف للعدد ٣» = {٣, ٦, ٩, ١٢}. التقاطع A ∩ B = {٦, ١٢} يضم النواتج الموجودة في المجموعتين معًا، أي يقع الحدثان معًا. والاتحاد A ∪ B = {٢, ٣, ٤, ٦, ٨, ٩, ١٠, ١٢} يضم النواتج الموجودة في إحدى المجموعتين على الأقل. أما المكمّل A′ = {١, ٣, ٥, ٧, ٩, ١١} فهو كل ما في S وليس في A، ولذلك A ∪ A′ = S وA ∩ A′ = ∅. والفرق A − B = {٢, ٤, ٨, ١٠} يعني «A ولا يقع B». ويقلب قانونا دي مورجان كلمة «لا» رأسًا على عقب: فالنواتج التي ليست في A ولا في B هي (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′، والنواتج التي ليست في المجموعتين معًا هي (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′. وبالكلمات فإن «لا يقع A و B معًا» تعني «يقع منهما حدث واحد على الأكثر». ولا تخلط بينها وبين «لا يقع أيٌّ منهما» فهذه عبارة أقوى. ويبيّن الشكل المناطق الأربع لهذا المؤشر.
Worked examples
بالرجوع إلى المؤشر السابق نكتب B′ وB − A و(A ∪ B)′ ونتحقق أن (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′. نجد B′ = {١, ٢, ٤, ٥, ٧, ٨, ١٠, ١١} وB − A = {٣, ٩} و(A ∪ B)′ = {١, ٥, ٧, ١١}. ومن جهة أخرى A′ = {١, ٣, ٥, ٧, ٩, ١١}، والنواتج المشتركة بين A′ و B′ هي ١ و٥ و٧ و١١ فقط، فيكون A′ ∩ B′ هو المجموعة نفسها.
العبارة
الرمز
تمطر والحافلة متأخرة
R ∩ L
تمطر أو تتأخر الحافلة (أو كلاهما)
R ∪ L
تمطر والحافلة غير متأخرة
R − L
لا تمطر والحافلة غير متأخرة
(R ∪ L)′ = R′ ∩ L′
لا يقعان معًا (واحد على الأكثر)
(R ∩ L)′ = R′ ∪ L′
من الكلمات إلى الرموز. في يوم دراسي لنفرض R «تمطر» و L «الحافلة متأخرة». يعطي الجدول لكل عبارة رمزها.
القانون الثاني على المؤشر نفسه. ليكن C «أكبر من ٨» = {٩, ١٠, ١١, ١٢} و D «عدد فردي» = {١, ٣, ٥, ٧, ٩, ١١}. إذن C ∩ D = {٩, ١١} فيكون في (C ∩ D)′ عشرة نواتج هي ١ و٢ و٣ و٤ و٥ و٦ و٧ و٨ و١٠ و١٢. ومن جهة أخرى C′ = {١, …, ٨} وD′ = {٢, ٤, ٦, ٨, ١٠, ١٢} واتحادهما هو النواتج العشرة نفسها. إذن (C ∩ D)′ = C′ ∪ D′.
Class activity
اكتب الأعداد من ١ إلى ١٠ على عشر قصاصات، وليكن A = {١, ٢, ٣, ٤, ٥} وB = {٢, ٤, ٦, ٨, ١٠}. ارسم دائرتين متقاطعتين على ورقة وضع كل قصاصة في منطقتها. اقرأ A ∩ B وA ∪ B وA − B و(A ∪ B)′، ثم اكتب A′ وB′ وتحقق أن A′ ∩ B′ يعطي القصاصات نفسها التي يعطيها (A ∪ B)′.
B′ = {a, b, g, h}؛ (A ∪ B)′ = {g, h}؛ وA′ = {e, f, g, h} فيكون A′ ∩ B′ = {g, h}. المجموعتان الأخيرتان متساويتان، وهذا قانون دي مورجان الأول.
3
في مدرسة ليكن L «مع التلميذ بطاقة المكتبة» و M «مع التلميذ بطاقة المقصف». اكتب بالرموز: (أ) بطاقة المكتبة دون بطاقة المقصف؛ (ب) لا بطاقة منهما؛ (ج) ليست معه البطاقتان معًا.
