الانحدار وخط المربعات الصغرى
Answers are for parents and teachers.
1
يسجّل كشك عصير سعر الزجاجة x (بالجنيه) وعدد الزجاجات المبيعة في الساعة y: x = ٢, ٣, ٤, ٦, ١٠ وy = ١٩, ٢٤, ١٨, ١٤, ٥. أوجد خط انحدار y على x وتنبأ بالمبيعات عند سعر ٥ جنيهات.
| x | 2 | 3 | 4 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 19 | 24 | 18 | 14 | 5 |
Σx = ٢٥ وΣy = ٨٠ وΣxy = ٣١٦ وΣx² = ١٦٥. b = (١٥٨٠ − ٢٠٠٠) ÷ (٨٢٥ − ٦٢٥) = −٤٢٠ ÷ ٢٠٠ = −٢٫١؛ a = (٨٠ + ٥٢٫٥) ÷ ٥ = ٢٦٫٥. والخط ŷ = ٢٦٫٥ − ٢٫١x؛ وعند x = ٥ تكون ŷ = ٢٦٫٥ − ١٠٫٥ = ١٦ زجاجة.
2
للنقاط (١, ٣) و(٢, ٥) و(٣, ٤) قارن بين الخطين ŷ = ٣ + ٠٫٥x وŷ = ٢ + x بمجموع مربعات الفروق. أيهما أفضل؟
الخط الأول: ŷ = ٣٫٥, ٤, ٤٫٥ والفروق −٠٫٥, ١, −٠٫٥ ومجموع المربعات ٠٫٢٥ + ١ + ٠٫٢٥ = ١٫٥. الخط الثاني: ŷ = ٣, ٤, ٥ والفروق ٠, ١, −١ والمجموع ٢. الخط الأول (وهو خط المربعات الصغرى) أفضل.
3
خط انحدار هو ŷ = ١٢ − ١٫٥x حيث y دقائق خدمة الزبون في مقصف وx عدد العاملين. ماذا يعني −١٫٥؟ وما ŷ عند x = ٤؟
كل عامل إضافي يخفض الزمن المتوقع بمقدار ١٫٥ دقيقة. وعند x = ٤: ŷ = ١٢ − ٦ = ٦ دقائق.
4
تريد تلميذة أن تتنبأ بساعات المراجعة من الدرجة، فتستعمل الخط الذي يتنبأ بالدرجة من الساعات. ما الخطأ؟
ذلك الخط هو انحدار y (الدرجة) على x (الساعات). وللتنبؤ بالساعات تحتاج إلى انحدار x على y وهو خط مختلف.
5
المتوسطان x̄ = ٤ وȳ = ٩ والميل b = ١٫٥. اكتب خط الانحدار وتحقق أنه يمر بالنقطة (٤, ٩).
a = ȳ − b·x̄ = ٩ − ٦ = ٣ فيكون ŷ = ٣ + ١٫٥x. التحقق: ٣ + ١٫٥ × ٤ = ٩.