الأسبوع 5 · Using the regression line: predicting y, the error of a prediction, extrapolation and regression from given sums · 3 دروس
3
الانحدار من مجاميع معطاة، وإشارة b وإشارة r، ولماذا يُحذَّر من التنبؤ خارج مدى البيانات
Statistics Sec 3 Term 1, Unit 1, Lesson 2
Goalأوجد r و b و a من مجاميع معطاة، وأربط إشارة b بإشارة r، وأرى لماذا يكون التنبؤ خارج مدى البيانات محفوفًا بالمخاطر.
New words
مجاميع معطاة · يُعطى n وΣx وΣy وΣxy وΣx² وΣy² فنستغني عن الجدولالاستقراء خارج المدى · التنبؤ لقيمة x خارج مدى البياناتالإشارة نفسها · b و r موجبتان معًا أو سالبتان معًا
Explanation
عندما تُعطى المجاميع يخدم بسطٌ واحد كلًّا من r و b وهو nΣxy − Σx·Σy. فهو في r يُقسم على √(nΣx² − (Σx)²) × √(nΣy² − (Σy)²) وفي b يُقسم على nΣx² − (Σx)² فقط. والمقامات موجبة، فإشارة b هي دائمًا إشارة r. ويلزم تحذيران. (١) يُبنى الخط من بيانات في مدى معيّن لـ x. وداخل هذا المدى يكون الخط دليلًا معقولًا؛ أما خارجه فنخمّن أن النمط مستمر، وكثيرًا ما لا يستمر. فنبات الفول ينمو نحو ٤٫٣ سم في الأسبوع في الأسابيع الخمسة الأولى، لكن الخط سيعطي ١٧٤٫٥ سم في الأسبوع الأربعين، ولا يبلغ نبات فول هذا الطول. (٢) الخط الجيد يبيّن أن y يمكن التنبؤ بها من x، لكنه لا يبيّن أن x سبب في y. فمبيعات المراوح تزداد مع الحرارة، لكن شراء مراوح أكثر لا يجعل اليوم أشد حرارة.
حالة سالبة: n = ٦ وΣx = ٤٢ وΣy = ٣٤٠ وΣxy = ٢١٠٨ وΣx² = ٣٦٤ وΣy² = ٢٠٣٣٤ (الدقائق x منذ صبّ كوب شاي ودرجة حرارته y بالدرجة المئوية). البسط ٦ × ٢١٠٨ − ٤٢ × ٣٤٠ = −١٦٣٢ فكل من r و b سالبة: b = −١٦٣٢ ÷ ٤٢٠ = −٣٫٨٨٥٧ وa = (٣٤٠ + ٣٫٨٨٥٧ × ٤٢) ÷ ٦ = ٨٣٫٨٦٧ وr = −١٦٣٢ ÷ √(٤٢٠ × ٦٤٠٤) = −٠٫٩٩٥١. يفقد الشاي نحو ٣٫٨٩ °C في الدقيقة.
الاستقراء خارج المدى. أطوال نبات الفول في الأسابيع من ١ إلى ٥ هي ٧, ١١, ١٥, ٢٠, ٢٤ سم، والخط ŷ = ٢٫٥ + ٤٫٣x. في الأسبوع ٣ (داخل البيانات) ŷ = ١٥٫٤ سم وهو تقدير جيد. وفي الأسبوع ٤٠ ŷ = ٢٫٥ + ١٧٢ = ١٧٤٫٥ سم وهذا غير معقول. ويدل الخط الرأسي المتقطع في الشكل على نهاية بياناتنا: وعلى يمينه لا يكون الخط إلا تخمينًا.
Class activity
أوجد خطًّا من بيانات تجمعها لخمسة أيام على الأقل (مثل دقائق الواجب المنزلي مقابل عدد المواد). تنبأ بيوم داخل مدى بياناتك وبيوم بعيد عنه. اشرح أي التنبؤين تثق به أكثر ولماذا.
Practice
1
أوجد b و a و r لـ n = ٨ وΣx = ١٥٤ وΣy = ٤٢٩ وΣxy = ٨٦٨٣ وΣx² = ٣١٨٢ وΣy² = ٢٣٨٥٩.