☰ خطة العام · الإحصاء (بالعربية)

استعمال خط الانحدار

الأسبوع 5 · Using the regression line: predicting y, the error of a prediction, extrapolation and regression from given sums · 3 دروس
3

الانحدار من مجاميع معطاة، وإشارة ⁦b⁩ وإشارة ⁦r⁩، ولماذا يُحذَّر من التنبؤ خارج مدى البيانات

Statistics Sec 3 Term 1, Unit 1, Lesson 2
Goalأوجد r و b و a من مجاميع معطاة، وأربط إشارة b بإشارة r، وأرى لماذا يكون التنبؤ خارج مدى البيانات محفوفًا بالمخاطر.
New words
مجاميع معطاة · يُعطى ⁦n⁩ و⁦Σx⁩ و⁦Σy⁩ و⁦Σxy⁩ و⁦Σx²⁩ و⁦Σy²⁩ فنستغني عن الجدولالاستقراء خارج المدى · التنبؤ لقيمة x خارج مدى البياناتالإشارة نفسها · b و r موجبتان معًا أو سالبتان معًا
Explanation

عندما تُعطى المجاميع يخدم بسطٌ واحد كلًّا من r و b وهو ⁦nΣxy − Σx·Σy⁩. فهو في r يُقسم على ⁦√(nΣx² − (Σx)²) × √(nΣy² − (Σy)²)⁩ وفي b يُقسم على ⁦nΣx² − (Σx)²⁩ فقط. والمقامات موجبة، فإشارة b هي دائمًا إشارة r. ويلزم تحذيران. (١) يُبنى الخط من بيانات في مدى معيّن لـ x. وداخل هذا المدى يكون الخط دليلًا معقولًا؛ أما خارجه فنخمّن أن النمط مستمر، وكثيرًا ما لا يستمر. فنبات الفول ينمو نحو ٤٫٣ سم في الأسبوع في الأسابيع الخمسة الأولى، لكن الخط سيعطي ١٧٤٫٥ سم في الأسبوع الأربعين، ولا يبلغ نبات فول هذا الطول. (٢) الخط الجيد يبيّن أن y يمكن التنبؤ بها من x، لكنه لا يبيّن أن x سبب في y. فمبيعات المراوح تزداد مع الحرارة، لكن شراء مراوح أكثر لا يجعل اليوم أشد حرارة.

xy246810122040600
Worked examples
المجاميع المعطاة: ⁦n = ١٠‎⁩ و⁦Σx = ٨٥‎⁩ و⁦Σy = ٣٨٧‎⁩ و⁦Σxy = ٣٧٩٠‎⁩ و⁦Σx² = ٩٠٥‎⁩ و⁦Σy² = ١٦٣٧٥‎⁩ (أجرة توصيل y بالجنيه مقابل المسافة x بالكيلومتر). البسط ⁦١٠‎ × ٣٧٩٠‎ − ٨٥‎ × ٣٨٧‎ = ٥٠٠٥‎⁩. والجذران: ⁦١٠‎ × ٩٠٥‎ − ٨٥‎² = ١٨٢٥‎⁩ و⁦١٠‎ × ١٦٣٧٥‎ − ٣٨٧‎² = ١٣٩٨١‎⁩. إذن ⁦r = ٥٠٠٥‎ ÷ √(١٨٢٥‎ × ١٣٩٨١‎) = ٥٠٠٥‎ ÷ ٥٠٥١٫٢٧‎ = ٠٫٩٩٠٨‎⁩. و⁦b = ٥٠٠٥‎ ÷ ١٨٢٥‎ = ٢٫٧٤٢٥‎⁩ و⁦a = (٣٨٧‎ − ٢٫٧٤٢٥‎ × ٨٥‎) ÷ ١٠‎ = ١٥٫٣٨٩‎⁩. والخط ⁦ŷ = ١٥٫٣٨٩‎ + ٢٫٧٤٢٥‎x⁩.
حالة سالبة: ⁦n = ٦‎⁩ و⁦Σx = ٤٢‎⁩ و⁦Σy = ٣٤٠‎⁩ و⁦Σxy = ٢١٠٨‎⁩ و⁦Σx² = ٣٦٤‎⁩ و⁦Σy² = ٢٠٣٣٤‎⁩ (الدقائق x منذ صبّ كوب شاي ودرجة حرارته y بالدرجة المئوية). البسط ⁦٦‎ × ٢١٠٨‎ − ٤٢‎ × ٣٤٠‎ = −١٦٣٢‎⁩ فكل من r و b سالبة: ⁦b = −١٦٣٢‎ ÷ ٤٢٠‎ = −٣٫٨٨٥٧‎⁩ و⁦a = (٣٤٠‎ + ٣٫٨٨٥٧‎ × ٤٢‎) ÷ ٦‎ = ٨٣٫٨٦٧‎⁩ و⁦r = −١٦٣٢‎ ÷ √(٤٢٠‎ × ٦٤٠٤‎) = −٠٫٩٩٥١‎⁩. يفقد الشاي نحو ٣٫٨٩ °C في الدقيقة.
الاستقراء خارج المدى. أطوال نبات الفول في الأسابيع من ١ إلى ٥ هي ⁦٧‎, ١١‎, ١٥‎, ٢٠‎, ٢٤‎⁩ سم، والخط ⁦ŷ = ٢٫٥‎ + ٤٫٣‎x⁩. في الأسبوع ٣ (داخل البيانات) ⁦ŷ = ١٥٫٤‎⁩ سم وهو تقدير جيد. وفي الأسبوع ٤٠ ⁦ŷ = ٢٫٥‎ + ١٧٢‎ = ١٧٤٫٥‎⁩ سم وهذا غير معقول. ويدل الخط الرأسي المتقطع في الشكل على نهاية بياناتنا: وعلى يمينه لا يكون الخط إلا تخمينًا.
Class activity

أوجد خطًّا من بيانات تجمعها لخمسة أيام على الأقل (مثل دقائق الواجب المنزلي مقابل عدد المواد). تنبأ بيوم داخل مدى بياناتك وبيوم بعيد عنه. اشرح أي التنبؤين تثق به أكثر ولماذا.

Practice
1
أوجد b و a و r لـ ⁦n = ٨‎⁩ و⁦Σx = ١٥٤‎⁩ و⁦Σy = ٤٢٩‎⁩ و⁦Σxy = ٨٦٨٣‎⁩ و⁦Σx² = ٣١٨٢‎⁩ و⁦Σy² = ٢٣٨٥٩‎⁩.
2
لخط ⁦b = −٢٫١‎⁩. هل يمكن أن تكون r موجبة؟ وما نوع الارتباط؟
3
بُني الخط ⁦ŷ = ٩٠‎ + ٥‎x⁩ من أطفال أعمارهم من ٦ إلى ١٠ سنوات (x) وأطوالهم بالسنتيمتر (y). ماذا يعطي عند ٤٠ سنة؟ علّق.
4
بُني خط كشك العصير من درجات حرارة من ⁦١٨٫٥‎⁩ إلى ⁦٣٥‎⁩ °C. أي التنبؤات داخل المدى: ⁦٢٠‎⁩ °C أم ⁦٣٠‎⁩ °C أم ⁦٤٠‎⁩ °C؟
5
يبيع متجر مراوح أكثر في الأيام الأحر. هل بيع مراوح أكثر يجعل اليوم أحر؟ وماذا يبيّن الخط؟