الأسبوع 8 · Equilibrium of coplanar forces: the two conditions (zero resultant and zero moment), a board on two supports, and a rod on two strings · 3 دروس
2
لوح أو قضيب على حاملين: ردّا الفعل من العزوم حول أحد الحاملين، وأثر اقتراب الحمل من أحدهما
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 2, Lesson 2, Part 1
Goalأوجد ردّي فعل لوح أو قضيب يرتكز على حاملين بأخذ العزوم حول أحد الحاملين، وأرى ما يحدث عندما يتحرك الحمل.
New words
منتظم · وزنه يؤثر عند منتصفهالوزن والكتلة · الوزن بالنيوتن = الكتلة بالكيلوجرام × ١٠ (g = ١٠). وتكتبه الكتب المصرية أيضًا «ث كجم»
Explanation
يرتكز لوح AB على حاملين عند A وB ويقف عليه حمل. يدفع ردّا الفعل RA وRB إلى أعلى وتشد الأثقال إلى أسفل. نأخذ g = ١٠ N لكل kg فكتلة ١٥ kg وزنها ١٥٠ N (تكتب الكتب المصرية «ث كجم» لهذا ونحن نستعمل النيوتن دائمًا). وزن اللوح المنتظم يؤثر عند منتصفه. الطريقة: (١) من ΣY = ٠ نجد RA + RB = الوزن الكلي. (٢) نأخذ العزوم حول B فيختفي RB: RA × AB = مجموع (الوزن × بعده عن B). (٣) نطرح لنجد RB ونتحقق بالعزوم حول A. يبين الجدول لوحًا طوله ٥ m ووزنه ١٥٠ N يقف عليه طفل وزنه ٣٠٠ N على بعد x من الأمتار من A: الحامل الأقرب إلى الطفل يحمل أكثر، وكلما مشى الطفل من A إلى B يقل RA ويزيد RB بالمقدار نفسه ٦٠ N لكل متر.
x بالمتر
٠
١
٢
٣
٤
٥
RA بالنيوتن
٣٧٥
٣١٥
٢٥٥
١٩٥
١٣٥
٧٥
RB بالنيوتن
٧٥
١٣٥
١٩٥
٢٥٥
٣١٥
٣٧٥
Worked examples
لوح منتظم AB كتلته ١٥ kg وطوله ٥ m يرتكز على حاملين عند طرفيه. يقف طفل كتلته ٣٠ kg على بعد ١٫٥ m من A. نأخذ g = ١٠. الاتجاه إلى أعلى موجب والدوران عكس عقارب الساعة موجب. الأوزان: اللوح ١٥ × ١٠ = ١٥٠ N عند ٢٫٥ m من A والطفل ٣٠ × ١٠ = ٣٠٠ N عند ١٫٥ m من A. العزوم حول B: ٥ RA − ١٥٠ × ٢٫٥ − ٣٠٠ × ٣٫٥ = ٠ فيكون RA = (٣٧٥ + ١٠٥٠) / ٥ = ٢٨٥ N. ثم RB = ٤٥٠ − ٢٨٥ = ١٦٥ N. التحقق حول A: ٥ × ١٦٥ − ١٥٠ × ٢٫٥ − ٣٠٠ × ١٫٥ = ٨٢٥ − ٣٧٥ − ٤٥٠ = ٠. الطفل أقرب إلى A وRA هو رد الفعل الأكبر.
لوح منتظم AB طوله ٦ m ووزنه ٢٤٠ N يرتكز على حامل عند A وحامل عند C حيث C تبعد ١ m عن B. يوضع على اللوح صندوق وزنه ٢٤٠ N على بعد x من الأمتار من A. أين يجب وضعه ليتساوى ردّا الفعل؟ الاتجاه إلى أعلى موجب والدوران عكس عقارب الساعة موجب. تقتسم القوتان المتساويتان الوزن الكلي: RA = RC = (٢٤٠ + ٢٤٠) / ٢ = ٢٤٠ N. العزوم حول C حيث AC = ٥ m: القوة RA إلى أعلى وعلى بعد ٥ m يسار C فتدير اللوح في اتجاه عقارب الساعة (سالب). أما وزن اللوح (على بعد ٢ m يسار C) والصندوق (على بعد ٥ − x يسارها) فإلى أسفل على اليسار فيديران اللوح عكس عقارب الساعة (موجب). إذن −٥ × ٢٤٠ + ٢ × ٢٤٠ + (٥ − x) × ٢٤٠ = ٠ فيكون ٥ − x = ٣ وx = ٢ m من A.
Class activity
ضع مسطرة على ميزانين مطبخيين تحت طرفيها وصفّر الميزانين. ضع قطعة نقدية عند علامات مختلفة واقرأ الميزانين إن كانا يعرضان الجرامات: الميزان الأقرب إلى القطعة يعرض قراءة أكبر. استعمل أحمالًا أقل من ٠٫٥ kg فقط. توقع بالعزوم كيف تتقاسم القراءتان قطعة كتلتها ٢٠ g موضوعة على بعد ١٠ cm من أحد طرفي مسطرة طولها ٣٠ cm وزنها مهمل. ثم اختبر توقعك.
Practice
1
استعمل لوح المثال (٥ m ووزنه ١٥٠ N وحاملاه عند الطرفين A وB) والطفل وزنه ٣٠٠ N لكنه الآن على بعد ٤ m من A. الاتجاه إلى أعلى موجب والدوران عكس عقارب الساعة موجب. أوجد RA وRB.
لوح خفيف AB طوله ٤ m يرتكز على حاملين عند طرفيه ويحمل ٢٠٠ N على بعد ١ m من A و١٠٠ N على بعد ٣ m من A. الاتجاه إلى أعلى موجب والدوران عكس عقارب الساعة موجب. أوجد RA وRB.
نأخذ g = ١٠. لوح منتظم AB كتلته ٢٠ kg وطوله ٤ m يرتكز على حاملين عند طرفيه. يقف صندوق كتلته ٣٠ kg على بعد ١ m من B. الاتجاه إلى أعلى موجب والدوران عكس عقارب الساعة موجب. أوجد RA وRB بالنيوتن.
يمشي شخص على لوح يرتكز على حاملين عند طرفيه من A إلى B. ماذا يحدث لـRA وRB؟
يقل RA ويزيد RB بالمقدار نفسه كل مرة (يبقى مجموعهما مساويًا للوزن الكلي). الحامل الأقرب إلى الشخص يحمل دائمًا أكثر.
5
لوح منتظم AB طوله ٦ m ووزنه ١٨٠ N يرتكز على حامل عند A وحامل عند C حيث AC = ٤ m. الاتجاه إلى أعلى موجب والدوران عكس عقارب الساعة موجب. أوجد ردّي الفعل.
يؤثر الوزن على بعد ٣ m من A أي ١ m يسار C. حول C: −٤ RA + ١ × ١٨٠ = ٠ (عزم الوزن +١٨٠ حول C) فيكون RA = ٤٥ N وRC = ١٨٠ − ٤٥ = ١٣٥ N.
