تحريك إحدى القوتين والقوى المعطاة بالمتجهات وتدريبات
الأسبوع 7 · Parallel coplanar forces: moving one force, parallel forces given as vectors, and practice with resultants and balance points · 3 دروس
2
قوى متوازية معطاة بالمركبتين i وj: المحصلة ونقطة تقاطع خط عملها مع AB بقانون التقسيم لقوتين متحدتين أو متضادتين
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 2, Lesson 1, Part 3
Goalأوجد محصلة قوتين متوازيتين معطاتين بالمتجهات ونقطة تقاطع خط عملها مع AB بقانون التقسيم.
New words
القوة كمتجه · قوة تُكتب زوجًا (a, b) = a i + b j حيث i وj متجها الوحدة على المحورينقانون التقسيم · النقطة C على AB التي تقسمها بنسبة AC : CB = m : n هي (nA + mB) / (m + n)
Explanation
يمكن إعطاء القوة بمركبتيها: F = (a, b) تعني a i + b j. تتوازى قوتان تمامًا عندما تكون إحداهما مضاعفًا للأخرى F₂ = k F₁. إذا كانت k > ٠ فالقوتان متحدتا الاتجاه، وإذا كانت k < ٠ فهما متضادتان. محصلتهما R = F₁ + F₂ = (١ + k) F₁ وهي مضاعف آخر لـF₁ (وإذا كانت k = −١ فهي صفر: ازدواج). أين تؤثر R؟ لتؤثر F₁ عند النقطة A وF₂ عند النقطة B، ولنفرض أن خط R يقطع AB في C. القوتان متوازيتان فبعدا C عن خطيهما بنسبة CA إلى CB، وتوازن العزوم يعطي CA : CB = |k| : ١. في القوتين متحدتي الاتجاه تقع C داخل AB وأقرب إلى القوة الكبرى. وفي القوتين المتضادتين تقع C خارج AB بعد القوة الكبرى. وتصلح صيغة واحدة في الحالتين إذا احتفظت k بإشارتها: C = (A + kB) / (١ + k) أي متوسط موضعي A وB يُحسب فيه A مرة واحدة وB k مرة. وتُحسب الإحداثيات كلًّا على حدة: x مع x وy مع y.
Worked examples
في الشكل F₁ = (١, ٢) تؤثر عند A(−٢, ١) وF₂ = (٣, ٦) عند B(٦, ٥) (القوى بالنيوتن). أوجد المحصلة والنقطة C التي يقطع عندها خطها AB. بما أن (٣, ٦) = ٣ × (١, ٢) فالقوتان متوازيتان ومتحدتا الاتجاه وk = ٣. R = (١ + ٣, ٢ + ٦) = (٤, ٨) ومقدارها √٨٠ ≈ ٨٫٩٤ N. ثم C = (A + ٣B) / ٤ = ((−٢ + ١٨) / ٤, (١ + ١٥) / ٤) = (٤, ٤). تحقق: AC = (٦, ٣) تساوي ثلاثة أرباع AB = (٨, ٤) فيكون AC : CB = ٣ : ١ وC أقرب إلى القوة الكبرى. العزوم حول C: (−٦)(٢) − (−٣)(١) = −٩ لـF₁ و(٢)(٦) − (١)(٣) = ٩ لـF₂ والمجموع صفر. (عزم قوة (a, b) عند النقطة (x, y) بالنسبة إلى C هو x b − y a.)
تؤثر F₁ = (٢, −١) عند A(١, ٢) وF₂ = (−٤, ٢) عند B(٤, ٦). أوجد المحصلة والنقطة التي يقطع عندها خطها المستقيم AB. (−٤, ٢) = −٢ × (٢, −١) فيكون k = −٢: القوتان متوازيتان ومتضادتان. R = (٢ − ٤, −١ + ٢) = (−٢, ١). C = (A + kB) / (١ + k) = ((١, ٢) − ٢(٤, ٦)) / (−١) = (٧, ١٠). تقع C بعد B (B منتصف AC) من جهة القوة الكبرى وCA : CB = ٢ : ١. العزوم حول C: (−٦)(−١) − (−٨)(٢) = ٢٢ لـF₁ و(−٣)(٢) − (−٤)(−٤) = −٢٢ لـF₂ والمجموع صفر.
Class activity
علِّم على ورق مربعات النقطتين A(٠, ٠) وB(٦, ٠). ارسم قوة طولها مربعان إلى أعلى عند A وقوة طولها أربعة مربعات إلى أعلى عند B (المقياس: مربع واحد لكل ١ N). توقع نقطة تقاطع المحصلة مع AB بالصيغة مع k = ٢: C = (A + ٢B) / ٣، ثم تحقق بشريط من الورق المقوى تزنه على قلم رصاص بوضع قطعتين نقديتين عند طرف وأربع قطع عند الطرف الآخر (بالنسبة نفسها).
Practice
1
تؤثر F₁ = (١, −٣) عند A(١, ٢) وF₂ = (٢, −٦) عند B(٤, ٥). بيّن أنهما متوازيتان وأوجد R والنقطة C التي يقطع عندها خطها AB.
