عزم القوة: التأثير الدوراني والإحداثيات ومبدأ فارينيون
الأسبوع 2 · Moments: the turning effect of a force about a point, moment arm and sign, the moment from coordinates, and Varignon’s principle · 3 دروس
3
مبدأ فارينيون: عزم القوة يساوي مجموع عزمي مركبتيها، ومثال محلول بطريقتين
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 1, Lesson 1, Part 1
Goalأستعمل مبدأ فارينيون: عزم القوة يساوي مجموع عزمي مركبتيها، وأتحقق منه بطريقة الذراع.
New words
مبدأ فارينيون · عزم القوة بالنسبة لنقطة يساوي مجموع عزمي مركبتيها بالنسبة لتلك النقطةمركبة · إحدى قوتين، عادةً على المحورين، لهما مجتمعتين تأثير القوة نفسه
Explanation
في القانون M = x Fy − y Fx حدّان، وكل حدّ هو عزم إحدى المركبتين: x Fy عزم Fy و−y Fx عزم Fx. إذن عزم القوة يساوي مجموع عزمي مركبتيها. وهذا هو مبدأ فارينيون، وهو يعطينا طريقتين لإيجاد العزم. الطريقة الأولى (المركبات): حلّل F إلى Fx وFy، وأوجد عزم كل منهما بالنسبة لـO بذراعه وإشارته، ثم اجمع. الطريقة الثانية (الذراع): أوجد الذراع العمودي L من O على خط العمل بحساب المثلثات، ثم خذ F × L بإشارة اتجاه الدوران. ويجب أن تتفق الإجابتان وهذا تحقق جيد. اختر المركبات إذا كانت إحداثيات نقطة التأثير سهلة، واختر الذراع إذا توافر مثلث قائم واضح. وانتبه إلى الإشارات: فقد يدير الجزءان في الاتجاه نفسه أو في اتجاهين متضادين.
Worked examples
يشدّ حبل ذراع لوحة محل عند C بقوة ٨٠ N تصنع ٣٠° تحت الأفقي وتتجه بعيدًا عن الحائط. النقطة C على بعد ١٫٥ m أفقيًا و١٫٠ m رأسيًا من قاعدة O. الطريقة الأولى: Fx = ٨٠ cos ٣٠° ≈ ٦٩٫٢٨ N (نحو اليمين فوق O: في اتجاه عقارب الساعة) وFy = −٨٠ sin ٣٠° = −٤٠ N (إلى أسفل على يمين O: في اتجاه عقارب الساعة أيضًا). M = ١٫٥ × (−٤٠) − ١٫٠ × ٦٩٫٢٨ = −٦٠ − ٦٩٫٢٨ ≈ −١٢٩٫٢٨ N·m. الطريقة الثانية: الذراع L = ١٫٥ sin ٣٠° + ١٫٠ cos ٣٠° ≈ ١٫٦١٦ m فيكون |M| = ٨٠ × ١٫٦١٦ ≈ ١٢٩٫٢٨ N·m. والطريقتان تعطيان ١٢٩٫٢٨ N·m في اتجاه عقارب الساعة.
تؤثر قوة ٦٠ N بزاوية ٦٠° فوق الأفقي عند C(١٫٠, ٠٫٥) (بالمتر من O). Fx = ٣٠ N وFy ≈ ٥١٫٩٦ N. M = ١٫٠ × ٥١٫٩٦ − ٠٫٥ × ٣٠ = ٥١٫٩٦ − ١٥ ≈ ٣٦٫٩٦ N·m عكس عقارب الساعة. هنا يدير الجزءان في اتجاهين متضادين وينتصر Fy. والذراع L = ١٫٠ sin ٦٠° − ٠٫٥ cos ٦٠° ≈ ٠٫٦١٦ m و٦٠ × ٠٫٦١٦ ≈ ٣٦٫٩٦ N·m.
تؤثر قوة ٥٠ N على الخط من A(٤, ٠) إلى B(٠, ٣) متجهة من A إلى B. مركبتاها (−٤٠, ٣٠) لأن طولي الضلعين ٤ و٣ يعطيان النسبة ٤ : ٣ : ٥. نأخذ نقطة التأثير A(٤, ٠): y = ٠ فلا تهم إلا Fy: M = ٤ × ٣٠ − ٠ × (−٤٠) = ١٢٠ N·m عكس عقارب الساعة. والذراع ١٢٠ / ٥٠ = ٢٫٤ m وهو ارتفاع المثلث القائم OAB على وتره.
Class activity
ارسم مثال الذراع على ورق مربعات (١ مربع = ٠٫٢٥ m): النقطة O والنقطة C وسهم القوة تحت الأفقي بزاوية ٣٠°. ارسم العمود من O على خط العمل وقِسه؛ يجب أن يكون قريبًا من ١٫٦ m. ثم احسب عزمي المركبتين وقارن.
Practice
1
تؤثر قوة ١٠٠ N بزاوية ٣٠° فوق الأفقي عند النقطة (٢, ٠) m. أوجد عزمها بالنسبة لـO (عكس عقارب الساعة موجب).
لا تهم إلا Fy لأن y = ٠: M = ٢ × ١٠٠ sin ٣٠° = ١٠٠ N·m (عكس عقارب الساعة).
2
تؤثر قوة ٤٠ N بزاوية ٤٥° تحت الأفقي متجهة نحو اليمين عند (١, ٢) m. أوجد عزمها بالنسبة لـO (عكس عقارب الساعة موجب).
F = (٢٨٫٢٨, −٢٨٫٢٨). M = ١ × (−٢٨٫٢٨) − ٢ × ٢٨٫٢٨ ≈ −٨٤٫٨٥ N·m (في اتجاه عقارب الساعة).
3
تؤثر القوة F = (٥, ١٢) N عند (٢, ١) m. أوجد العزم بالنسبة لـO بالمركبات (عكس عقارب الساعة موجب) ثم الذراع.
تؤثر قوة ٢٠ N بزاوية ٦٠° فوق الأفقي متجهة نحو اليمين عند (٠, ٤) m. أوجد عزمها بالنسبة لـO (عكس عقارب الساعة موجب). أي المركبتين لا تساهم؟
المركبة Fy لها x = ٠ فعزمها صفر. M = −٤ × ٢٠ cos ٦٠° = −٤٠ N·m (في اتجاه عقارب الساعة).
5
عزم قوة بالنسبة لـO يساوي ٣٠ N·m في اتجاه عقارب الساعة. وعزم مركبتها الأفقية المؤثرة على ارتفاع ٥ m فوق O يساوي ٢٠ N·m في اتجاه عقارب الساعة. كم يجب أن يكون عزم المركبة الرأسية؟
بمبدأ فارينيون: −٣٠ = −٢٠ + My فعزم المركبة الرأسية ١٠ N·m في اتجاه عقارب الساعة (−١٠ N·m).
