☰ خطة العام · الرياضيات (بالعربية)

إشارة الدالة والمتباينات التربيعية

الأسبوع 4 · The sign of a constant, linear and quadratic function, and quadratic inequalities in one unknown · 3 دروس
3

حل المتباينة التربيعية بدراسة إشارة دالتها وكتابة الحل على صورة فترات

Mathematics Sec 1 Term 1, Unit 1, Lessons 4–5
Goalأحل المتباينات التربيعية في مجهول واحد وأكتب مجموعة الحل على صورة فترات.
New words
المتباينة التربيعية · متباينة فيها عبارة تربيعية مثل ⁦x² − ٣‎x − ١٠‎ > ٠‎⁩مجموعة الحل · كل الأعداد التي تجعل المتباينة صحيحةالمجموعة الخالية · ⁦∅⁩: المجموعة التي لا عنصر فيها (المتباينة لا تتحقق أبدًا)
Explanation

لحل متباينة تربيعية ندرس إشارة الدالة التربيعية. الخطوة ١: ننقل كل الحدود إلى طرف واحد فيصير الطرف الآخر صفرًا. الخطوة ٢: نجد الجذرين ونحدد إشارة الدالة على خط الأعداد (إشارة ⁦a⁩ خارج الجذرين وعكسها بينهما، أو إشارة ⁦a⁩ في كل مكان إن لم يكن هناك جذران). الخطوة ٣: نختار الفترات التي تطابق إشارتها المتباينة. مع الإشارة الصارمة (أكبر من أو أصغر من) لا يكون الجذران حلين وتكون الأقواس مفتوحة؛ ومع ⁦≤⁩ أو ⁦≥⁩ يكون الجذران حلين وتكون الأقواس مغلقة. ولا تقسم الطرفين على ⁦x⁩ أو على أي عبارة قد تكون سالبة لأن المتباينة قد تنعكس. وأحيانًا يكون الحل المجموعة الخالية ⁦∅⁩ (لا تتحقق أبدًا) أو المجموعة ⁦R⁩ كلها.

الخطوةما نفعله
⁦١‎⁩ننقل كل الحدود إلى طرف واحد ويصير الطرف الآخر ⁦٠‎⁩
⁦٢‎⁩نجد الجذرين وإشارة الدالة (إشارة ⁦a⁩ والجذران)
⁦٣‎⁩نأخذ الفترات المطابقة لإشارة المتباينة؛ و⁦≤⁩ و⁦≥⁩ تشملان الجذرين
Worked examples
−5−4−3−2−1012345678
حل ⁦x² − ٣‎x − ١٠‎ > ٠‎⁩. الجذران: ⁦(x − ٥‎)(x + ٢‎) = ٠‎⁩ تعطي ⁦−٢‎⁩ و⁦٥‎⁩. ⁦a > ٠‎⁩ فإن ⁦f > ٠‎⁩ خارج الجذرين. الحل ⁦]−∞, −٢‎[ ∪ ]٥‎, ∞[⁩. ولو كانت المتباينة ⁦≤ ٠‎⁩ لكان الحل الفترة المغلقة ⁦[−٢‎, ٥‎]⁩.
حل ⁦٢‎x² < ٧‎x + ٤‎⁩. ننقل: ⁦٢‎x² − ٧‎x − ٤‎ < ٠‎⁩ وتتحلل إلى ⁦(٢‎x + ١‎)(x − ٤‎) < ٠‎⁩. الجذران ⁦−١‎/٢‎⁩ و⁦٤‎⁩ و⁦a > ٠‎⁩ فتكون ⁦f < ٠‎⁩ بينهما. الحل ⁦]−١‎/٢‎, ٤‎[⁩.
حل ⁦x² > ١٠‎x − ٢٥‎⁩. ننقل: ⁦x² − ١٠‎x + ٢٥‎ > ٠‎⁩ أي ⁦(x − ٥‎)² > ٠‎⁩. المربع موجب إلا عندما يساوي صفرًا فالحل كل ⁦x⁩ عدا ⁦٥‎⁩: ⁦R − {٥‎}⁩. وكذلك ⁦x² + ٢‎x + ٥‎ < ٠‎⁩ لا حل لها: مميزها ⁦٤‎ − ٢٠‎ < ٠‎⁩ و⁦a > ٠‎⁩ فهي موجبة دائمًا، ومجموعة الحل ⁦∅⁩.
−10123456
حل ⁦−x² + ٥‎x − ٤‎ > ٠‎⁩. الجذران ⁦١‎⁩ و⁦٤‎⁩. هنا ⁦a = −١‎ < ٠‎⁩ فتكون الدالة موجبة بين الجذرين: ⁦]١‎, ٤‎[⁩. اختبر ⁦x = ٢‎⁩: ⁦−٤‎ + ١٠‎ − ٤‎ = ٢‎ > ٠‎⁩ ✓.
Class activity

فحص الحدود. للمتباينة ⁦x² − ٣‎x − ١٠‎ ≥ ٠‎⁩ جرّب ⁦x = −٢‎⁩ و⁦x = ٠‎⁩ و⁦x = ٥‎⁩. أيها حل؟ وما نوع الأقواس الذي يناسب ⁦≥⁩ وما الذي يناسب «أكبر من» الصارمة؟

Practice
1
حل ⁦x² − ٧‎x + ١٢‎ < ٠‎⁩.
2
حل ⁦x² + x − ٦‎ ≥ ٠‎⁩.
3
حل ⁦x² + ٨‎ < ٣‎⁩.
4
حل ⁦x² − ٦‎x + ٩‎ ≤ ٠‎⁩.
5
حل ⁦x² ≥ ٤‎x − ٧‎⁩.