الأسبوع 10 · Angle bisectors and proportional parts: interior and exterior bisectors and the length of a bisector · 3 دروس
1
منصّف الزاوية الداخلية يقسم الضلع المقابل بنسبة الضلعين الآخرين: BD/DC = AB/AC
Mathematics Sec 1 Term 1, Unit 3, Lesson 2
Goalأستخدم نظرية منصّف الزاوية لإيجاد جزأي الضلع المقابل.
New words
منصّف الزاوية · الشعاع الذي يقسم الزاوية إلى زاويتين متساويتينالمنصّف الداخلي · منصّف زاوية المثلث من الداخل ويقابل الضلع المقابل
Explanation
النظرية: منصّف زاوية داخلية في مثلث يقسم الضلع المقابل إلى جزأين نسبتهما تساوي نسبة الضلعين الآخرين. إذا نصّف AD الزاوية A وD على BC فإن BD/DC = AB/AC. فكرة البرهان: نرسم من C مستقيمًا يوازي AD يقطع امتداد BA في E. فتكون ∠E = ∠BAD (متناظرتان) و∠ACE = ∠DAC (متبادلتان)، وبما أن المنصّف يجعل ∠BAD = ∠DAC فإن △ACE متساوي الساقين وAE = AC. ونظرية المستقيم الموازي في △BCE تعطي BD/DC = BA/AE = BA/AC. وتستخدم النسبة الضلعين اللذين يلتقيان عند الزاوية المنصَّفة (AB وAC) وليس BC أبدًا. ولاحظ أن D ليست منتصف BC إلا إذا كان AB = AC. ولإيجاد الجزأين نسمّيهما بالنسبة المعطاة ونستخدم BD + DC = BC.
ƒFormula
BD/DC = AB/AC
AD ينصّف ∠A: نسبة جزأي BC تساوي نسبة الضلعين المتقابلين عند A
△ABC قائم في B وAD ينصّف ∠A وBA : AC = ٤ : ٥ وBD = ٨. BD/DC = ٤/٥ فإن DC = ١٠ وBC = ١٨. الأضلاع بنسبة ٤ : ٣ : ٥ (BA : BC : AC) فإن BC = ٣k = ١٨ وk = ٦: AB = ٢٤ وAC = ٣٠. المحيط ٢٤ + ١٨ + ٣٠ = ٧٢ سم.
Class activity
اطوِ المنصّف. قص مثلثًا من الورق أطوال أضلاعه نحو ١٠ و٦ و١٢ سم. اطوِه بحيث ينطبق AB على AC فتحصل على منصّف الزاوية عند A. قس BD وDC وقارن BD : DC مع AB : AC.
