☰ خطة العام · الرياضيات (بالعربية)

إشارة الدالة والمتباينات التربيعية

الأسبوع 4 · The sign of a constant, linear and quadratic function, and quadratic inequalities in one unknown · 3 دروس
2

إشارة الدالة التربيعية في الحالات الثلاث ⁦b² − ٤‎ac > ٠‎⁩ و⁦= ٠‎⁩ و⁦< ٠‎⁩ مقروءة من المنحنى

Mathematics Sec 1 Term 1, Unit 1, Lessons 4–5
Goalأوجد إشارة الدالة التربيعية من جذريها ومن إشارة ⁦a⁩.
New words
خارج الجذرين · قيم ⁦x⁩ الأصغر من الجذر الأصغر أو الأكبر من الجذر الأكبربين الجذرين · قيم ⁦x⁩ في الفترة من أحد الجذرين إلى الآخر
Explanation

إشارة ⁦f(x) = ax² + bx + c⁩ يحددها المنحنى: فوق محور السينات تكون ⁦f⁩ موجبة وتحته سالبة وعليه صفرًا. والمميز يبيّن كيف يلاقي المنحنى المحور. إذا كان ⁦b² − ٤‎ac > ٠‎⁩ فللدالة جذران ⁦L < M⁩. ويفتح المنحنى إلى أعلى عندما ⁦a > ٠‎⁩ فيكون فوق المحور خارج الجذرين وتحته بينهما: فللدالة إشارة ⁦a⁩ خارج ⁦[L, M]⁩ والإشارة المعاكسة بين ⁦L⁩ و⁦M⁩. وإذا كان ⁦b² − ٤‎ac = ٠‎⁩ فالمنحنى يمس المحور عند نقطة واحدة فللدالة إشارة ⁦a⁩ في كل مكان عدا ذلك الجذر حيث تساوي صفرًا. وإذا كان ⁦b² − ٤‎ac < ٠‎⁩ فالمنحنى لا يلاقي المحور أبدًا فللدالة إشارة ⁦a⁩ لكل ⁦x⁩ حقيقي. مثال: ⁦f(x) = x² − ٢‎x − ٨‎ = (x + ٢‎)(x − ٤‎)⁩ الجذران ⁦−٢‎⁩ و⁦٤‎⁩ و⁦a = ١‎ > ٠‎⁩: موجبة على ⁦]−∞, −٢‎[⁩ وعلى ⁦]٤‎, ∞[⁩ وسالبة على ⁦]−٢‎, ٤‎[⁩.

xy−4−3−2−1123456−10−8−6−4−224680f(x) = x² − 2x − 8−24
Worked examples
⁦f(x) = x² − ٢‎x − ٨‎⁩. ⁦b² − ٤‎ac = ٤‎ + ٣٢‎ = ٣٦‎ > ٠‎⁩ والجذران ⁦−٢‎⁩ و⁦٤‎⁩. موجبة على ⁦]−∞, −٢‎[ ∪ ]٤‎, ∞[⁩ (وتُكتب أيضًا ⁦R − [−٢‎, ٤‎]⁩) وسالبة على ⁦]−٢‎, ٤‎[⁩ وصفر عند ⁦−٢‎⁩ و⁦٤‎⁩. للتحقق: ⁦f(٠‎) = −٨‎ < ٠‎⁩ و⁦٠‎⁩ بين الجذرين ✓.
⁦f(x) = −x² + ٦‎x − ٥‎ = −(x − ١‎)(x − ٥‎)⁩. الجذران ⁦١‎⁩ و⁦٥‎⁩ و⁦a = −١‎ < ٠‎⁩ فالمنحنى يفتح إلى أسفل: ⁦f⁩ موجبة بين الجذرين على ⁦]١‎, ٥‎[⁩ وسالبة على ⁦]−∞, ١‎[ ∪ ]٥‎, ∞[⁩.
xy−112345−112340f(x) = x² − 6x + 13
⁦f(x) = x² − ٦‎x + ١٣‎⁩. ⁦b² − ٤‎ac = ٣٦‎ − ٥٢‎ = −١٦‎ < ٠‎⁩ و⁦a = ١‎ > ٠‎⁩ فإن ⁦f(x) > ٠‎⁩ لكل ⁦x⁩ حقيقي. (الرأس ⁦(٣‎, ٤‎)⁩ فوق المحور.)
⁦f(x) = −٩‎x² + ١٢‎x − ٤‎ = −(٣‎x − ٢‎)²⁩. المميز ⁦١٤٤‎ − ١٤٤‎ = ٠‎⁩ والجذر ⁦x = ٢‎/٣‎⁩ و⁦a < ٠‎⁩. فإن ⁦f(x) < ٠‎⁩ لكل ⁦x ≠ ٢‎/٣‎⁩ و⁦f(٢‎/٣‎) = ٠‎⁩.
Class activity

ارسم رسمًا تقريبيًّا. على ورق مربعات ارسم منحنى ⁦f(x) = x² − ٥‎x + ٦‎⁩ مستخدمًا الجذرين وإشارة ⁦a⁩ فقط، ثم اكتب إشارة ⁦f⁩ في كل جزء من محور السينات.

Practice
1
أوجد إشارة ⁦f(x) = x² − ٥‎x + ٦‎⁩.
2
أوجد إشارة ⁦f(x) = x² + ٤‎x + ٥‎⁩.
3
أوجد إشارة ⁦f(x) = ٤‎x² − ٤‎x + ١‎⁩.
4
أوجد إشارة ⁦f(x) = ٤‎ − x²⁩.
5
أوجد إشارة ⁦f(x) = −٢‎x² + x − ٣‎⁩.