الأسبوع 4 · The sign of a constant, linear and quadratic function, and quadratic inequalities in one unknown · 3 دروس
1
إشارة الدالة الثابتة والدالة الخطية: أين تكون f(x) موجبة أو سالبة أو صفرًا
Mathematics Sec 1 Term 1, Unit 1, Lessons 4–5
Goalأوجد إشارة الدالة الثابتة والدالة الخطية على مجموعة الأعداد الحقيقية.
New words
إشارة الدالة · الفترات التي تكون فيها f(x) موجبة أو سالبة أو صفرًاصفر الدالة · قيمة x التي تجعل f(x) = ٠الفترة المفتوحة · ]a, b[: الأعداد بين a وb دون a وb
Explanation
دراسة إشارة دالة تعني أن نبيّن لأي قيم x تكون القيمة f(x) موجبة أو سالبة أو صفرًا. الدالة الثابتة f(x) = c لها إشارة c لكل x. والدالة الخطية f(x) = bx + c حيث b ≠ ٠ لها صفر واحد عند x = −c/b. وعلى يمين الصفر تكون لها إشارة b وعلى يساره الإشارة المعاكسة. خذ f(x) = ٦ − ٣x: الصفر x = ٢ وb = −٣ سالب فالدالة سالبة عندما x > ٢ وموجبة عندما x < ٢. وتُكتب مجموعات الحل فترات: ]٢, ∞[ تعني كل الأعداد الأكبر من ٢ و]−∞, ٢[ كل الأعداد الأصغر من ٢. وللتحقق عوّض عددًا من كل جهة: f(٠) = ٦ > ٠ وf(٣) = −٣ < ٠ ✓. وإذا لزم تحقق شرطين معًا فنأخذ الأعداد التي تحققهما معًا أي تقاطع المجموعتين.
x
x < ٢
x = ٢
x > ٢
٦ − ٣x
+
٠
−
x − ٢
−
٠
+
Worked examples
إشارة f(x) = ٦ − ٣x. الصفر: ٦ − ٣x = ٠ تعطي x = ٢. معامل x هو −٣ < ٠. فإن f(x) > ٠ على ]−∞, ٢[ وf(٢) = ٠ وf(x) < ٠ على ]٢, ∞[.
إشارة f(x) = ٢x + ٥. الصفر x = −٥/٢. المعامل ٢ موجب فإن f(x) > ٠ لـ x > −٥/٢ وf(x) < ٠ لـ x < −٥/٢.
لأي قيم x تكون f(x) = x + ٣ وg(x) = ٥ − x موجبتين معًا؟ f(x) > ٠ لـ x > −٣. وg(x) > ٠ لـ x < ٥. معًا: التقاطع ]−٣, ٥[. (أما اتحاد المجموعتين فيعطي كل الأعداد الحقيقية وهذا خطأ.)
Class activity
السير على الإشارات. ارسم خط الأعداد. للدالة f(x) = ٣x − ٦ علّم الصفر ثم جرّب عددًا على يساره وعددًا على يمينه واكتب + أو − فوق كل جهة.
Practice
1
أوجد إشارة f(x) = ٣x − ٦.
الصفر عند x = ٢؛ موجبة لـ x > ٢ وسالبة لـ x < ٢.
2
أوجد إشارة f(x) = −٤x − ٨.
الصفر عند x = −٢؛ المعامل −٤ سالب فالدالة سالبة لـ x > −٢ وموجبة لـ x < −٢.
3
ما إشارة f(x) = ٧ وg(x) = −٣؟
f موجبة لكل x؛ وg سالبة لكل x.
4
لأي قيم x تكون ٥ − ٢x سالبة؟
٥ − ٢x = ٠ عند x = ٥/٢؛ والمعامل −٢ سالب فتكون سالبة لـ x > ٥/٢.
5
لأي قيم x تكون x − ١ و٩ − x² موجبتين معًا؟
x − ١ > ٠ على ]١, ∞[. و٩ − x² > ٠ على ]−٣, ٣[. معًا: ]١, ٣[.
