الأسبوع 7 · The ratio of the areas of two similar triangles or polygons, scale drawings and maps · 3 دروس
1
نسبة مساحتي مثلثين متشابهين تساوي مربع نسبة ضلعين متناظرين وتساوي أيضًا مربع نسبة ارتفاعين متناظرين
Mathematics Sec 1 Term 1, Unit 2, Lesson 3
Goalأستخدم أن نسبة مساحتي مثلثين متشابهين هي k² لإيجاد المساحات والأضلاع.
New words
نسبة المساحتين · مساحة الأول ÷ مساحة الثاني، وفي الأشكال المتشابهة تساوي k²الارتفاعان المتناظران · الارتفاعان المرسومان على ضلعين متناظرين؛ ونسبتهما أيضًا k
Explanation
عند تكبير مثلث بالعامل k تصير قاعدته k مثلًا ويصير ارتفاعه k مثلًا. والمساحة ½ × القاعدة × الارتفاع فتصير ½ × (k × القاعدة) × (k × الارتفاع) = k² × المساحة القديمة. تحقق بالأعداد: مثلث قاعدته ٦ وارتفاعه ٤ مساحته ١٢. كبّره بـ k = ٥/٢: قاعدته ١٥ وارتفاعه ١٠ ومساحته ٧٥ و١٢ × (٥/٢)² = ١٢ × ٢٥/٤ = ٧٥ ✓. فالمثلثان المتشابهان نسبة مساحتيهما k² حيث k نسبة أي ضلعين متناظرين. والارتفاعان المرسومان على ضلعين متناظرين نسبتهما k أيضًا لأن المثلثين القائمين الصغيرين اللذين يكونانهما متشابهان. وكذلك المتوسطان المتناظران ومنصفا الزاويتين المتناظرتان. تحذير: نسبة المساحتين k² أما نسبة المحيطين فهي k. وللرجوع من نسبة المساحتين إلى k نأخذ الجذر التربيعي: نسبة المساحتين ٤ : ٩ تعني k = ٢ : ٣.
نسبة التشابه k (الأضلاع)
١ : ٢
٢ : ٣
٣ : ٥
١ : ١٠
نسبة المساحتين k²
١ : ٤
٤ : ٩
٩ : ٢٥
١ : ١٠٠
نسبة المحيطين
١ : ٢
٢ : ٣
٣ : ٥
١ : ١٠
Worked examples
△ABC ~ △DEF وAB : DE = ٣ : ٥. مساحة △ABC تساوي ٢٧ سم². فإن مساحة(ABC) : مساحة(DEF) = ٩ : ٢٥ فتكون مساحة DEF ٢٧ × ٢٥/٩ = ٧٥ سم².
نسبة مساحتي مثلثين متشابهين ١٦ : ٢٥. فإن k = ٤ : ٥ ونسبة المحيطين ٤ : ٥. فإذا كان محيط الأكبر ٥٠ سم فمحيط الأصغر ٥٠ × ٤/٥ = ٤٠ سم.
الارتفاعان. مثلثان متشابهان مساحتاهما ٣٦ سم² و١٠٠ سم² فإن k = ٦/١٠ = ٣/٥. فإذا كان ارتفاع الأكبر ١٥ سم فالارتفاع المناظر في الأصغر ١٥ × ٣/٥ = ٩ سم.
Class activity
اختبار الشبكة. على ورق مربعات ارسم مثلثًا قائمًا ضلعاه القائمان ٣ و٤ مربعات واحسب مساحته، ثم ارسم المثلث الذي ضلعاه ٦ و٨. كم مرة تكبر المساحة؟ وهل تساوي k²؟
Practice
1
مثلثان متشابهان فيهما k = ٣/٤. ما نسبة مساحتيهما؟
(٣/٤)² = ٩/١٦.
2
نسبة مساحتي مثلثين متشابهين ٢٥ : ٤٩. ما نسبة ضلعين متناظرين؟
√٢٥ : √٤٩ = ٥ : ٧.
3
مثلث مساحته ٢٠ سم² كُبّر بـ k = ٣. أوجد المساحة الجديدة.
