☰ خطة العام · الرياضيات (بالعربية)

تكوين المعادلات التربيعية من جذورها

الأسبوع 3 · The roots and the coefficients: unknown coefficients, forming a quadratic equation from its roots or from the roots of another equation · 3 دروس
1

إيجاد معامل مجهول من شرط على الجذرين: مجموع أو حاصل ضرب معطى أو جذر معطى أو جذر مركب مع مرافقه

Mathematics Sec 1 Term 1, Unit 1, Lesson 3
Goalأستخدم مجموع الجذرين وحاصل ضربهما لإيجاد معامل مجهول.
New words
شرط على الجذرين · معلومة عن الجذرين مثل مجموعهما أو حاصل ضربهما أو معرفة أحدهماالنظير الضربي · العدد ⁦١‎/L⁩ نظير ⁦L⁩ الضربي لأن ⁦L × (١‎/L) = ١‎⁩النظير الجمعي · العدد ⁦−L⁩ نظير ⁦L⁩ الجمعي لأن ⁦L + (−L) = ٠‎⁩
Explanation

المجموع ⁦−b/a⁩ وحاصل الضرب ⁦c/a⁩ يربطان الجذرين بالمعاملات، فأي معلومة عن الجذرين تعطي معادلة في المعامل المجهول. إذا أُعطي المجموع فساوِ ⁦−b/a⁩ به، وللحاصل استخدم ⁦c/a⁩. وإذا أُعطي أحد الجذرين فعوّضه في المعادلة أو اقسم ⁦c⁩ عليه لتجد الجذر الآخر. والجذر المركب يأتي مع مرافقه: عندما تكون المعاملات حقيقية يكون ⁦p + qi⁩ و⁦p − qi⁩ جذرين معًا فمجموعهما ⁦٢‎p⁩ وحاصل ضربهما ⁦p² + q²⁩. وشروط أخرى: أحد الجذرين ضعف الآخر (أو ثلاثة أمثاله) يعني أن الجذرين ⁦r⁩ و⁦٢‎r⁩ (أو ⁦٣‎r⁩)؛ والجذران المتعاكسان مجموعهما ⁦٠‎⁩؛ والجذران اللذان كل منهما نظير ضربي للآخر حاصل ضربهما ⁦١‎⁩. وبعد إيجاد المجهول تحقق بكتابة المعادلة وجذريها. ولا تحل المعادلة أولًا إذا طلبت المسألة «دون حل».

المعطىما نستخدمه
مجموع الجذرين أو حاصل ضربهما⁦−b/a⁩ أو ⁦c/a⁩ يساوي العدد المعطى
أحد الجذرين معطىنعوّضه في المعادلة أو نستخدم حاصل الضرب
جذر مركب ⁦p + qi⁩الجذر الآخر ⁦p − qi⁩ (المعاملات حقيقية)
أحد الجذرين ⁦k⁩ مثل الآخرنسمي الجذرين ⁦r⁩ و⁦kr⁩
جذران متعاكسان / متقابلان بالنظير الضربيالمجموع ⁦٠‎⁩ / حاصل الضرب ⁦١‎⁩
Worked examples
حاصل ضرب جذري ⁦٤‎x² − ٧‎x + c = ٠‎⁩ يساوي ⁦٣‎/٤‎⁩. أوجد ⁦c⁩. حاصل الضرب ⁦c/٤‎ = ٣‎/٤‎⁩ فإن ⁦c = ٣‎⁩. للتحقق: ⁦٤‎x² − ٧‎x + ٣‎ = (٤‎x − ٣‎)(x − ١‎)⁩ جذراها ⁦٣‎/٤‎⁩ و⁦١‎⁩ ومجموعهما ⁦٧‎/٤‎⁩ ✓.
أحد جذري ⁦x² + mx + ١٠‎ = ٠‎⁩ هو ⁦−٢‎⁩. أوجد ⁦m⁩ والجذر الآخر. الجذر الآخر ⁦١٠‎/(−٢‎) = −٥‎⁩. والمجموع ⁦−٢‎ + (−٥‎) = −٧‎ = −m⁩ فإن ⁦m = ٧‎⁩. للتحقق: ⁦x² + ٧‎x + ١٠‎ = (x + ٢‎)(x + ٥‎)⁩ ✓.
⁦٣‎ + ٢‎i⁩ جذر للمعادلة ⁦x² − ٦‎x + c = ٠‎⁩ وفيها ⁦c⁩ حقيقي. الجذر الآخر هو المرافق ⁦٣‎ − ٢‎i⁩ (ومجموعهما ⁦٦‎⁩ ✓). فإن ⁦c = (٣‎ + ٢‎i)(٣‎ − ٢‎i) = ٩‎ + ٤‎ = ١٣‎⁩.
أحد جذري ⁦٢‎x² − ٨‎x + c = ٠‎⁩ ثلاثة أمثال الآخر. أوجد ⁦c⁩. الجذران ⁦r⁩ و⁦٣‎r⁩: المجموع ⁦٤‎r = ٤‎⁩ فإن ⁦r = ١‎⁩ والجذران ⁦١‎⁩ و⁦٣‎⁩. وحاصل الضرب ⁦٣‎ = c/٢‎⁩ فإن ⁦c = ٦‎⁩.
Class activity

جرّب القواعد. خذ الجذرين ⁦٢‎⁩ و⁦٥‎⁩ واكتب ⁦x² − ٧‎x + ١٠‎ = ٠‎⁩. غيّر ⁦١٠‎⁩ إلى ⁦١٢‎⁩ وأوجد الجذرين الجديدين. هل يبقى المجموع ⁦٧‎⁩؟ وهل يتبع حاصل الضرب ⁦c/a⁩؟

Practice
1
مجموع جذري ⁦x² + bx + ١٢‎ = ٠‎⁩ يساوي ⁦−٧‎⁩. أوجد ⁦b⁩ والجذرين.
2
⁦٢‎⁩ جذر لـ ⁦x² − ٥‎x + c = ٠‎⁩. أوجد ⁦c⁩ والجذر الآخر.
3
⁦١‎ − ٢‎i⁩ جذر لـ ⁦x² + bx + c = ٠‎⁩ وفيها ⁦b⁩ و⁦c⁩ حقيقيان. أوجد ⁦b⁩ و⁦c⁩.
4
أحد جذري ⁦٣‎x² − ١٠‎x + (٢‎k − ١‎) = ٠‎⁩ نظير ضربي للآخر. أوجد ⁦k⁩.
5
جذرا ⁦x² − (k − ٤‎)x + ٥‎ = ٠‎⁩ متعاكسان. أوجد ⁦k⁩.