1
مراجعة: الأعداد المركبة والمميز ومجموع الجذرين وحاصل ضربهما وإشارة الدالة والمتباينات من الدرجة الثانية
Mathematics Sec 1 Term 1, Units 1–4, Review
Goalأراجع الوحدة الأولى بمسائل جديدة متنوعة.
New words
المرافق · a − bi مرافق a + biالمميز · b² − ٤ac يحدد نوع الجذرينمجموعة الحل · جميع القيم التي تحقق المتباينة
Explanation
قائمة مراجعة للوحدة الأولى. (١) i² = −١ وقوى i تتكرر كل ٤: نقسم الأس على ٤ ونستخدم الباقي. (٢) نضرب الأعداد المركبة كالأقواس؛ وللقسمة نضرب البسط والمقام في مرافق المقام. (٣) للمعادلة ax² + bx + c = ٠ نوجد المميز D = b² − ٤ac: إذا D > ٠ جذران حقيقيان وإذا D = ٠ جذران متساويان وإذا D < ٠ جذران مركبان مترافقان. (٤) دون الحل: مجموع الجذرين −b/a وحاصل ضربهما c/a؛ ونبني معادلات جديدة من مجموع وحاصل ضرب الجذرين الجديدين. (٥) إشارة f(x) = ax² + bx + c: نوجد الجذرين ونرسم القطع المكافئ (لأعلى إذا a > ٠) ونقرأ أين يعلو المحور أو ينخفض. (٦) نكتب حل المتباينة فترة أو اتحاد فترات.
| الوحدة | الأدوات الأساسية |
|---|---|
| الأعداد المركبة | i² = −١ والمرافق وD = b² − ٤ac والمجموع −b/a والجداء c/a |
| المتباينات | الجذور ثم إشارة القطع المكافئ |
| التشابه | الأضلاع ×k والمحيطات ×k والمساحات ×k² |
| الدائرة | EA × EB = EC × ED ومربع المماس = EC × ED |
| التوازي والمنصّفات | AD/DB = AE/EC وBD/DC = AB/AC |
| حساب المثلثات | ℓ = θr ودائرة الوحدة وإشارات الأرباع والزوايا المرتبطة والمنحنيات |
Worked examples
احسب (٣ + ٢i)(١ − ٤i) = ٣ − ١٢i + ٢i − ٨i² = ٣ − ١٠i + ٨ = ١١ − ١٠i. و(٢ + ٣i)/(١ − i): نضرب في (١ + i)/(١ + i): (٢ + ٢i + ٣i + ٣i²)/٢ = (−١ + ٥i)/٢.
حل x² − ٦x + ١٣ = ٠. D = ٣٦ − ٥٢ = −١٦ < ٠ فإن x = (٦ ± ٤i)/٢ = ٣ ± ٢i. ولكي يكون جذرا ٢x² − kx + ٨ = ٠ متساويين يلزم k² − ٦٤ = ٠ أي k = ٨ أو k = −٨.
L وM جذرا ٢x² − ٥x + ١ = ٠. L + M = ٥/٢ وLM = ١/٢ وL² + M² = ٢٥/٤ − ١ = ٢١/٤. المعادلة التي جذراها ١/L و١/M مجموعهما (L + M)/LM = ٥ وحاصل ضربهما ٢: x² − ٥x + ٢ = ٠.
حل x² − ٥x − ٦ ≤ ٠. الجذران −١ و٦ والقطع لأعلى فإن f ≤ ٠ بين الجذرين: [−١, ٦]. و٢x² − x − ٣ > ٠: الجذران −١ و٣/٢ وf > ٠ خارجهما: x < −١ أو x > ٣/٢.
قطعة أرض مستطيلة محيطها ٤٠ م ومساحتها ٩١ م² على الأقل. الطول x يحقق x(٢٠ − x) ≥ ٩١ أي x² − ٢٠x + ٩١ ≤ ٠ والجذران ٧ و١٣: ٧ ≤ x ≤ ١٣ م.
Class activity
صيد الأخطاء. يقول صديق إن x² + x + ٣ > ٠ بلا حل لأنها ‘بلا جذور’. استخدم المميز لتبين خطأه وحدد مجموعة الحل.
Practice
1
احسب i^٥٣ + (٢ − i)(٢ + i).
i^٥٣ = i (٥٣ = ٤ × ١٣ + ١) و(٢ − i)(٢ + i) = ٤ + ١ = ٥: ٥ + i.
2
أوجد k بحيث يكون جذرا x² + kx + ٩ = ٠ متساويين.
k² − ٣٦ = ٠ وk = ±٦.
3
جذرا x² − ٧x + ٣ = ٠ هما L وM. أوجد L² + M² والمعادلة التي جذراها L² وM².
L + M = ٧ وLM = ٣: L² + M² = ٤٩ − ٦ = ٤٣ وحاصل الضرب ٩: x² − ٤٣x + ٩ = ٠.
4
حل x² − ٤x − ٥ > ٠.
الجذران −١ و٥: x < −١ أو x > ٥.
5
بيّن أن x² + x + ٣ > ٠ لكل x حقيقي.
D = ١ − ١٢ < ٠ وa > ٠: القطع المكافئ فوق محور x دائمًا.