1
منحنى دالة الجيب: جدول القيم والمجال والمدى والدورة ٢π والقيمة العظمى والصغرى
Mathematics Sec 1 Term 1, Unit 4, Lessons 5–6
Goalأرسم المنحنى y = sin θ وأقرأ منه المجال والمدى والدورة والقيمة العظمى والصغرى.
New words
الدورة · طول دورة كاملة قبل أن يتكرر المنحنىالمدى · جميع القيم التي يمكن أن تأخذها yالقيمة العظمى والصغرى · أعلى قيمة وأدنى قيمة للدالة
Explanation
نرسم النقاط (θ, sin θ) من الجدول وθ بالراديان ثم نصل بينها بمنحنى أملس فنحصل على موجة. المجال هو كل الأعداد الحقيقية (أي زاوية). والمدى [−١, ١] لأن sin θ = y على دائرة الوحدة. ترتفع الموجة إلى قيمة عظمى ١ عند θ = π/٢ ثم تهبط وتمر بالصفر عند π وتصل إلى قيمة صغرى −١ عند ٣π/٢ وتعود إلى الصفر عند ٢π حيث تبدأ من جديد. إذن الدورة ٢π: sin(θ + ٢π) = sin θ. ويمر المنحنى بنقطة الأصل وهو متماثل حولها لأن sin(−θ) = −sin θ. ويقطع محور θ عند ٠, π, ٢π, … أي عند كل مضاعفات π.
Worked examples
| θ | ٠ | π/٦ | π/٢ | ٥π/٦ | π | ٧π/٦ | ٣π/٢ | ١١π/٦ | ٢π |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin θ | ٠ | ١/٢ | ١ | ١/٢ | ٠ | −١/٢ | −١ | −١/٢ | ٠ |
أين يكون sin θ = ٠ لـ ٠ ≤ θ ≤ ٣π؟ عند θ = ٠, π, ٢π, ٣π (كل مضاعفات π).
أوجد sin(١٣π/٢). ١٣π/٢ = ٦π + π/٢ و٦π ثلاث دورات كاملة فإن sin(١٣π/٢) = sin(π/٢) = ١.
Class activity
ارسمه بيدك. على ورق مربعات ارسم موجة الجيب من ٠ إلى ٢π باستخدام الجدول وخذ ٣ سم لكل π. علّم نقطتي العظمى والصغرى ثم أكمل النمط لدورة أخرى.
Practice
1
اذكر مجال ومدى ودورة y = sin θ.
المجال: جميع الأعداد الحقيقية. المدى: [−١, ١]. الدورة: ٢π.
2
عند أي θ في [٠, ٢π] يكون sin θ = ١؟ وعند أي θ يكون −١؟
θ = π/٢ للقيمة ١ وθ = ٣π/٢ للقيمة −١.
3
أوجد sin(٥π/٢) وsin(−π/٢).
sin(٥π/٢) = sin(π/٢) = ١؛ sin(−π/٢) = −١.
4
لأي θ في [٠, ٢π] يكون sin θ موجبًا؟
لـ ٠ < θ < π (فوق المحور).
5
هل sin(θ + ٤π) = sin θ؟ لماذا؟
نعم: ٤π دورتان كاملتان.