الوحدة التخيلية i: الجذور التربيعية للأعداد السالبة وقوى i الأربع ولماذا لا يوجد حل حقيقي للمعادلة x² = −١
نربّع أي عدد حقيقي فلا نحصل أبدًا على عدد سالب: ٣² = ٩ و(−٣)² = ٩. لذلك ليس للمعادلة x² = −١ حل حقيقي. ويظهر ذلك على الرسم: القطع المكافئ y = x² + ١ لا يمس محور السينات أبدًا. وحلّ علماء الرياضيات هذه المشكلة بابتكار عدد جديد i شرطه i² = −١ (ويكتبه الكتاب المدرسي ت). وكلمة «تخيلي» مجرد اسم، فهذا العدد نافع مثل أي عدد آخر. وبذلك يصبح للجذور التربيعية للأعداد السالبة معنى: √(−٩) = √٩ × i = ٣i لأن (٣i)² = ٩ × i² = −٩. وعمومًا √(−n) = √n × i عندما n > ٠. أما قوى i فتتكرر في دورة من أربع خطوات: i¹ = i وi² = −١ وi³ = i² × i = −i وi⁴ = ١ ثم i⁵ = i من جديد. ولإيجاد iⁿ نقسم n على ٤ وننظر إلى الباقي، وينفع ذلك مع الأسس السالبة بكتابة n مضاعفًا للعدد ٤ مضافًا إليه باقٍ من ٠ إلى ٣ (−٤٥ = −٤٨ + ٣). وانتبه: القاعدة √a × √b = √(ab) لا تصح إذا كان العددان سالبين: √(−٤) × √(−٩) = ٢i × ٣i = ٦i² = −٦ وليس √٣٦ = ٦.
| باقي قسمة الأس على ٤ | قيمة iⁿ |
|---|---|
| ٠ | ١ |
| ١ | i |
| ٢ | −١ |
| ٣ | −i |
أكمل الجدول. انسخ صف قيم iⁿ من n = ١ إلى n = ٨ ثم تابعه حتى n = ١٢ دون آلة حاسبة. أي القيم تعود بعد كل أربع خطوات؟