الأسبوع 10 · Angle bisectors and proportional parts: interior and exterior bisectors and the length of a bisector · 3 دروس
2
منصّف الزاوية الخارجية والقسمة من الداخل ومن الخارج بالنسبة نفسها وتعامد المنصّفين
Mathematics Sec 1 Term 1, Unit 3, Lesson 2
Goalأستخدم منصّف الزاوية الخارجية وحقيقة أن منصّفي الزاوية عند الرأس متعامدان.
New words
الزاوية الخارجية · الزاوية بين ضلع وامتداد ضلع آخرالقسمة من الخارج · قسمة قطعة مستقيمة من نقطة خارجها بنسبة معلومة
Explanation
منصّف الزاوية الخارجية عند A يقطع المستقيم BC في نقطة E خارج القطعة BC ويقسم BC من الخارج بالنسبة نفسها: BE/EC = AB/AC. فالمنصّفان عند A يقسمان BC بنسبة AB : AC أحدهما من الداخل في D والآخر من الخارج في E. والزاويتان الداخلية والخارجية عند A معًا تكوّنان زاوية مستقيمة ١٨٠°. وكل منصّف يأخذ نصف زاويته فيكون ∠DAE = ½ × ١٨٠° = ٩٠°: المنصّفان متعامدان. وعندما AB > AC تقع E بعد C؛ وعندما AB < AC تقع بعد B. وإذا كان AB = AC فالمنصّف الخارجي يوازي BC ولا توجد نقطة E. ولإيجاد EC تذكّر أن BE = BC + EC عندما تكون E بعد C واكتب النسبة على هذا الأساس.
Worked examples
في △ABC AB = ١٢ وAC = ٨ وBC = ١٠. المنصّف الداخلي AD يعطي BD/DC = ٣/٢ فإن BD = ٦ وDC = ٤. والمنصّف الخارجي يقطع BC في E بعد C: BE/EC = ٣/٢ وBE = EC + ١٠ فإن ٢(EC + ١٠) = ٣EC وEC = ٢٠ وBE = ٣٠. DE = DC + CE = ٤ + ٢٠ = ٢٤ سم.
تحقق من الزاوية القائمة. في المثلث نفسه AD² = AB × AC − BD × DC = ٩٦ − ٢٤ = ٧٢ وAE² = BE × EC − AB × AC = ٦٠٠ − ٩٦ = ٥٠٤. فإذا كانت ∠DAE = ٩٠° فإن DE² = AD² + AE² = ٧٢ + ٥٠٤ = ٥٧٦ = ٢٤². وهذا يوافق DE = ٢٤ ✓.
طيّتان. على مثلث ورقي اطوِ المنصّف الداخلي عند A. ثم مدّد BA بخط قلم رصاص بعد A واطوِ الامتداد على AC لتحصل على منصّف الزاوية الخارجية. تحقق بمثلث الرسم أن خطي الطي متعامدان.
