الزاوية الخارجية · زاوية يكوّنها ضلع وامتداد الضلع المجاور؛ تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتينمتوازي الأضلاع · شكل رباعي كل ضلعين متقابلين فيه متوازيانمضلع منتظم · أضلاعه كلها متساوية وزواياه كلها متساويةمنتصف القطعة · متوسط إحداثيي طرفي القطعة
Explanation
الزوايا: المتتامتان مجموعهما ٩٠° والمتكاملتان ١٨٠° والزوايا حول نقطة ٣٦٠°، والزاويتان المتقابلتان بالرأس متساويتان. مع المستقيمين المتوازيين تتساوى الزاويتان المتناظرتان والمتبادلتان ومجموع الداخليتين في جانب واحد ١٨٠°، وتساوي زاويتين متبادلتين يثبت التوازي أيضًا. مجموع زوايا المثلث ١٨٠° والزاوية الخارجية تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين ومجموع أي ضلعين أكبر من الثالث. مجموع زوايا الشكل الرباعي ٣٦٠°؛ وشبه المنحرف فيه زوج واحد فقط من الأضلاع المتوازية؛ وقطرا متوازي الأضلاع ينصّف كل منهما الآخر؛ وقطرا المستطيل متساويان وقطرا المعين متعامدان. مجموع زوايا المضلع (n − ٢) × ١٨٠° وكل زاوية في المنتظم تساوي هذا المجموع ÷ n. في المستوى الإحداثي تحدد الإشارات الربع ويحتفظ المسقط بإحداثي واحد والمنتصف هو المتوسط.
مستقيمان متوازيان. المستقيمان متوازيان والزاويتان المتبادلتان (٤x − ١٥)° و(٢x + ٢٥)°. هما متساويتان: ٤x − ١٥ = ٢x + ٢٥ فيكون ٢x = ٤٠ وx = ٢٠. قياس كل زاوية ٤ × ٢٠ − ١٥ = ٦٥°.
مثلث. في المثلث ABC الضلعان AB = AC والزاوية A = ٣٦°. زاويتا القاعدة متساويتان: y = (١٨٠° − ٣٦°) ÷ ٢ = ٧٢°. الزاوية الخارجية z عند C تساوي ٣٦° + ٧٢° = ١٠٨°. التحقق: ١٨٠° − ٧٢° = ١٠٨°.
المضلعات. مجموع زوايا السداسي (٦ − ٢) × ١٨٠° = ٧٢٠°. خمس زوايا قياسها ١٠٠° و١٢٠° و١٣٠° و١١٥° و١٢٥° ومجموعها ٥٩٠° فتكون الزاوية السادسة ٧٢٠° − ٥٩٠° = ١٣٠°. وفي السداسي المنتظم كل زاوية ٧٢٠° ÷ ٦ = ١٢٠°.
متباينة المثلث. ضلعان طولهما ٧ سم و١٢ سم. الضلع الثالث بين ١٢ − ٧ = ٥ و١٢ + ٧ = ١٩. هل يمكن أن تكون ٥ و٧ و١٢ أضلاع مثلث؟ ٥ + ٧ = ١٢ وهو ليس أكبر من ١٢ فلا.
المستوى الإحداثي. A(−٢، ٣) في الربع الثاني وB(٦، −١) في الربع الرابع. المنتصف M = ((−٢ + ٦) ÷ ٢، (٣ + (−١)) ÷ ٢) = (٢، ١). طول مسقط AB على المحور x هو |٦ − (−٢)| = ٨ وعلى المحور y هو |−١ − ٣| = ٤.
Class activity
جولة هندسية. مع أحد الكبار انظر إلى أرضية مبلطة بمربعات أو إلى شكل خلية النحل. سمِّ المضلعات التي تراها وبيّن أيها منتظم، وابحث عن متوازي أضلاع وشبه منحرف وزوج من المستقيمات المتوازية.
Practice
1
زاويتان على مستقيم قياسهما ٣x و(٢x + ٢٠)°. أوجد x والزاويتين.
٥x + ٢٠ = ١٨٠ فيكون x = ٣٢. الزاويتان ٩٦° و٨٤°.
2
في المعين ABCD الزاوية A = ٧٠°. أوجد الزاوية B والزاوية بين القطر AC والضلع AB.
B = ١٨٠° − ٧٠° = ١١٠°. القطر ينصّف الزاوية A فيصنع مع AB زاوية ٣٥°.
3
قياس كل زاوية في مضلع منتظم ١٤٤°. كم ضلعًا له؟
(n − ٢) × ١٨٠ = ١٤٤n فيكون ٣٦n = ٣٦٠ وn = ١٠.
4
PQRS متوازي أضلاع فيه P(−٣، ١) وQ(٢، −١) وR(٥، ٣). أوجد S.
منتصف PR هو (١، ٢). S = (٢ × ١ − ٢، ٢ × ٢ − (−١)) = (٠، ٥). التحقق: منتصف QS هو ((٢ + ٠) ÷ ٢، (−١ + ٥) ÷ ٢) = (١، ٢).
5
تقول لينا إن ٤ و٥ و١٠ تكوّن مثلثًا لأن كلًّا منها أقصر من ٤ + ٥ + ١٠. ما الخطأ؟
يجب أن نقارن مجموع الضلعين الأقصر بالأطول: ٤ + ٥ = ٩ وهو أصغر من ١٠. فلا يوجد مثلث.
