مضاعفات المتجه ومتجهات الوحدة وi, j, k والمتجه AB وجيوب تمام الاتجاه
Week 9 · Multiplying a vector by a number, equal vectors, unit vectors, the vectors i, j, k, the vector AB, direction angles and direction cosines · 3 lessons
3
زوايا الاتجاه وجيوب تمام الاتجاه، وتحليل المتجه إلى مركباته
Pure Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lesson 2
Goalأوجد زوايا الاتجاه وجيوب تمام الاتجاه، وأحلل متجهًا أو قوة إلى مركباتها.
New words
زوايا الاتجاه · الزوايا θₓ, θᵧ, θz (من ٠° إلى ١٨٠°) التي يصنعها المتجه مع الاتجاه الموجب للمحاور x, y, zجيوب تمام الاتجاه · cos θₓ, cos θᵧ, cos θz: وهي مركبات متجه الوحدةتحليل المتجه · إيجاد مركبات المتجه من مقداره واتجاهه
Explanation
يصنع المتجه A زوايا θₓ وθᵧ وθz مع الاتجاه الموجب للمحاور. والمركبة تساوي المعيار مضروبًا في جيب تمام: Aₓ = ‖A‖cos θₓ وAᵧ = ‖A‖cos θᵧ وAz = ‖A‖cos θz. فيكون A = ‖A‖(cos θₓ i + cos θᵧ j + cos θz k)، وبالقسمة على ‖A‖ نرى أن جيوب تمام الاتجاه الثلاثة هي بالضبط مركبات متجه الوحدة A/‖A‖. ومعيار متجه الوحدة ١ ولذلك cos²θₓ + cos²θᵧ + cos²θz = ١. وبها نوجد زاوية ناقصة: مربع جيب التمام الناقص يساوي ١ ناقص مربعي الآخرين، فنحصل على زاويتين ممكنتين إحداهما حادة والأخرى منفرجة. ولتحليل قوة F معلومة المقدار في اتجاه معلوم نضرب F في متجه الوحدة لذلك الاتجاه. ويبين الشكل حبلًا يشد على قطر صندوق.
يصنع متجه زاوية ٤٥° مع محور x وزاوية ٦٠° مع محور y. أوجد زاويته مع محور z. cos²θz = ١ − cos²٤٥° − cos²٦٠° = ١ − ١/٢ − ١/٤ = ١/٤ فيكون cos θz = ±١/٢ وθz = ٦٠° أو ١٢٠°. والاحتمالان ممكنان.
يشد حبل بقوة ٣٥ نيوتن على قطر صندوق أبعاده ٦ م × ٢ م × ٣ م مبتعدًا عن الركن O. القطر هو (٦, ٢, ٣) ومعياره √(٣٦ + ٤ + ٩) = ٧ فمتجه الوحدة (٦/٧, ٢/٧, ٣/٧). والقوة F = ٣٥(٦/٧, ٢/٧, ٣/٧) = (٣٠, ١٠, ١٥) نيوتن. وزوايا اتجاهها cos⁻¹(٦/٧) ≈ ٣١٫٠° وcos⁻¹(٢/٧) ≈ ٧٣٫٤° وcos⁻¹(٣/٧) ≈ ٦٤٫٦°.
Class activity
زوايا بالقلم. أمسك قلمًا يشير إلى أعلى وقليلًا إلى الأمام واليمين. قدّر الزوايا الثلاث التي يصنعها مع حروف ركن غرفتك. هل يقارب مجموع مربعات جيوب تمام تقديراتك الثلاثة ١؟
Practice
1
يبلغ معيار متجه ٢٠ ويصنع زاوية ٣٠° مع محور z، وظله على المستوى xy يصنع زاوية ٤٥° مع محور x. أوجد مركباته.
الجزء الرأسي ٢٠ cos ٣٠° ≈ ١٧٫٣٢. وطول الظل ٢٠ sin ٣٠° = ١٠ فيكون Aₓ = ١٠ cos ٤٥° ≈ ٧٫٠٧ وAᵧ = ١٠ sin ٤٥° ≈ ٧٫٠٧. المركبات (٧٫٠٧, ٧٫٠٧, ١٧٫٣٢).
