المسافة بين نقطتين ومنتصف قطعة مستقيمة في الفراغ
خذ صندوقًا أطوال أحرفه a, b, c. قطر قاعدته طوله √(a² + b²) بنظرية فيثاغورث. وهذا القطر مع الحرف الرأسي c يصنعان زاوية قائمة، فطول قطر الصندوق √(a² + b² + c²). وفي صندوق الشكل √(٤ + ٩ + ٣٦) = ٧. وأي نقطتين A(x₁, y₁, z₁) وB(x₂, y₂, z₂) هما رأسان متقابلان لصندوق أطوال أحرفه فروق الإحداثيات، فيكون AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²). ولا يهم ترتيب النقطتين لأن الفروق تُربّع. أما منتصف AB فنجده بمتوسط كل إحداثي: M = ((x₁ + x₂)/٢, (y₁ + y₂)/٢, (z₁ + z₂)/٢). وإذا عُلمت M وأحد الطرفين فالطرف الآخر ٢M − A (نضاعف إحداثيات M ثم نطرح إحداثيات A). ولإثبات أن مثلثًا قائم الزاوية نربّع أطوال أضلاعه الثلاثة ونختبر علاقة فيثاغورث: أكبر المربعات يساوي مجموع المربعين الآخرين.
صناديق حقيقية. قس طول كتاب أو خزانة وعرضه وارتفاعه بالسنتيمتر. احسب قطره بالقانون، ثم تحقق بخيط تشده من أحد الأركان إلى الركن المقابل.