3
إيجاد قيم العبارات وإثبات المتطابقات باستخدام ω وتكوين معادلات جذراها عبارتان في ω
Pure Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 2, Lesson 3
Goalأوجد قيم عبارات بدلالة ω، وأثبت متطابقات، وأكوّن معادلات تربيعية جذراها عبارتان في ω.
New words
المتطابقة · معادلة صحيحة لكل القيم المسموح بها؛ وهنا إثبات تساوي عبارتين في ωمجموع الجذرين وحاصل ضربهما · في المعادلة x² − (المجموع)x + (حاصل الضرب) = ٠ يكون مجموع الجذرين وحاصل ضربهما كما هو مكتوباختزال · نستبدل كل قوة لـ ω بـ ١ أو ω أو ω² ثم نستعمل ١ + ω + ω² = ٠
Explanation
تُحل كل مسائل ω بأربع خطوات متكررة. (أ) نختزل كل قوة لـ ω باستعمال ω³ = ١. (ب) نستبدل المجموعة ١ + ω + ω² بصفر، أو ω + ω² بـ −١. (ج) في الكسر نُخرج ω أو ω² عاملًا مشتركًا من البسط ليطابق المقام: مثلًا a + bω² = ω²(aω + b) لأن ω²·aω = a، فيؤول الكسر إلى ω². (د) لإثبات أن عددًا جذر لمعادلة نضع x = ω (أو ω²) ونختزل القوى ونتحقق أن الناتج صفر؛ ويعطي ω وω² النتيجة نفسها لأنهما مترافقان ومعاملات المعادلة حقيقية. ولتكوين معادلة تربيعية جذراها p وq نحسب p + q وpq بالقواعد السابقة ونكتب x² − (p + q)x + pq = ٠. وقد تكون المعاملات حقيقية مع أن الجذرين غير حقيقيين.
ƒFormula
١ + ω + ω² = ٠, ω³ = ١, ١/ω = ω²
استبدل كل مجموع للجذور الثلاثة بصفر، واختزل كل قوة إلى ١ أو ω أو ω².
Worked examples
أوجد قيمة (١ + ω)(١ + ω²)(١ + ω⁴)(١ + ω⁸). نختزل: ω⁴ = ω وω⁸ = ω² فيكون الناتج [(١ + ω)(١ + ω²)]². و(١ + ω)(١ + ω²) = ١ + ω + ω² + ω³ = ٠ + ١ = ١. فالقيمة ١.
أوجد قيمة [(٣ + ٢ω²)/(٣ω + ٢) − (١ + ٤ω)/(ω² + ٤)]⁶. بما أن ω²(٣ω + ٢) = ٣ + ٢ω² فالكسر الأول يساوي ω². وبما أن ω(ω² + ٤) = ١ + ٤ω فالثاني يساوي ω. فالقوس ω² − ω = −√٣ i و(−√٣ i)⁶ = ٢٧ × i⁶ = −٢٧.
أثبت أن x = ω يحقق x¹⁴ + x⁷ + ١ = ٠. نختزل: ω¹⁴ = ω² (١٤ = ١٢ + ٢) وω⁷ = ω. فيكون ω² + ω + ١ = ٠. ✓ وعند x = ω²: ω²⁸ = ω وω¹⁴ = ω² فنحصل أيضًا على ω + ω² + ١ = ٠. ✓
كوّن المعادلة التربيعية التي جذراها ω + ٢ وω² + ٢. المجموع: ω + ω² + ٤ = ٣. حاصل الضرب: ω³ + ٢ω + ٢ω² + ٤ = ١ − ٢ + ٤ = ٣. فالمعادلة x² − ٣x + ٣ = ٠. (وجذراها (٣ ± √٣ i)/٢ هما فعلًا ٢ + ω و٢ + ω².)
Class activity
انتبه للفخ. يقول صديق إن ω جذر للمعادلة x⁹ + x⁶ + ١ = ٠ لأنها تشبه x² + x + ١. احسب قيمتها عند x = ω وقرر.
Practice
1
بسّط (٤ + ٣ω + ٣ω²)⁷.
٤ + ٣(ω + ω²) = ٤ − ٣ = ١ فالقيمة ١⁷ = ١.
2
أثبت أن (x + y)(x + ωy)(x + ω²y) = x³ + y³.
(x + ωy)(x + ω²y) = x² + (ω + ω²)xy + ω³y² = x² − xy + y². نضرب في x + y: (x + y)(x² − xy + y²) = x³ + y³.
3
أوجد قيمة [(٢ + ٥ω)/(٢ω² + ٥) − (٣ + ω²)/(٣ω + ١)]¹⁰.
٢ + ٥ω = ω(٢ω² + ٥) فالكسر الأول ω. و٣ + ω² = ω²(٣ω + ١) فالثاني ω². القوس ω − ω² = √٣ i و(√٣ i)¹⁰ = ٣⁵ i¹⁰ = ٢٤٣ × (−١) = −٢٤٣.
4
هل ω جذر للمعادلة x⁹ + x⁶ + ١ = ٠؟
لا. ω⁹ = ١ وω⁶ = ١ فالقيمة ١ + ١ + ١ = ٣ وليست ٠.
5
كوّن المعادلة التربيعية التي جذراها ٢ω + ١ و٢ω² + ١.
المجموع: ٢(ω + ω²) + ٢ = ٠. حاصل الضرب: ٤ω³ + ٢ω + ٢ω² + ١ = ٤ − ٢ + ١ = ٣. المعادلة x² + ٣ = ٠ (جذراها ±√٣ i فعلًا، فإن ٢ω + ١ = √٣ i).