١ + ω + ω² = ٠ · مجموع الجذور التكعيبية الثلاثة للواحد الصحيح يساوي صفرًاω³ = ١ · فالقوة ωⁿ تتوقف على باقي قسمة n على ٣ فقطالجذران المترافقان · ω² مرافق ω، وω × ω² = ١
Explanation
أربع حقائق تؤدي معظم العمل. (١) مجموع الجذور صفر: ١ + ω + ω² = ٠. ونراه بجمع الصورتين الجبريتين، أو لأن ω جذر للمعادلة Z² + Z + ١ = ٠. ومنها: ١ + ω = −ω² و١ + ω² = −ω وω + ω² = −١. (٢) ω³ = ١ فتتكرر القوى كل ثلاث خطوات: اقسم الأس على ٣ واحتفظ بالباقي كما في الجدول. وينفع الأس السالب أيضًا لأن ١/ω = ω². (٣) ω² هو مرافق ω (لهما الجزء الحقيقي نفسه وجزءان تخيليان متعاكسان)، ومقياس كل منهما ١، وω·ω² = ١ وهذا يكافئ ١/ω = ω² و١/ω² = ω. (٤) الفرق عدد تخيلي: ω − ω² = √٣ i وω² − ω = −√٣ i. ونجمع المجموع الطويل من القوى في مجموعات من ثلاثة حدود متتالية يساوي كل منها صفرًا بالحقيقة الأولى.
