Week 3 · The term free of x, ratios of consecutive terms and of their coefficients, three consecutive coefficients and the greatest term · 3 lessons
3
معاملات ثلاثة حدود متتالية، وحدود متناسبة، والحد الأكبر في المفكوك
Pure Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 1, Lessons 2–3
Goalأستعمل معاملات الحدود المتتالية والنسب لإيجاد مجاهيل، وأجد الحد الأكبر.
New words
معاملات ثلاثة حدود متتالية · nC(r−١), nCr, nC(r+١)؛ ونسبتان تعطيان n وrالحد الأكبر · T(r+١) أكبر من T(r) ما دامت النسبة T(r+١)/T(r) لا تقل عن ١
Explanation
معاملات ثلاثة حدود متتالية في (١ + x)ⁿ هي nC(r−١) وnCr وnC(r+١). إذا أُعطيت أعدادًا فكوّن النسبتين nCr / nC(r−١) = (n − r + ١)/r وnC(r+١) / nCr = (n − r)/(r + ١). كل منهما عدد معلوم، فنحصل على معادلتين خطيتين في n وr. وعندما تحقق الحدود علاقة، كأن يكون أحدها متوسط جاريه، نكتب كل حد بـ nCr ونبسّط. وللحد الأكبر في (a + b)ⁿ بعد التعويض بأعداد نستعمل النسبة T(r+١)/T(r) = ((n − r + ١)/r)(b/a). يكون الحد التالي أكبر ما دامت النسبة لا تقل عن ١، وأصغر عندما تنزل عن ١. نحلّ المتباينة في r: ترتفع الحدود حتى آخر r صحيح يحققها، والحد الذي بعده هو الأكبر. وإذا ساوت النسبة ١ تمامًا لقيمة ما من r تساوى حدّان متجاوران وكلاهما الأكبر. وانتبه عند تبادل الإشارات كما في (٢ − x)⁹ عند x = ٣: قارن الأحجام أولًا ثم قرّر أي حدّين متساويي الحجم قيمته أكبر، وهو الموجب.
معاملات T٢, T٣, T٤ في (١ + x)ⁿ تكوّن متتالية حسابية (T٣ هو متوسط الآخرين). أوجد n. المعاملات nC١, nC٢, nC٣ فيكون ٢ · nC٢ = nC١ + nC٣ أي n(n − ١) = n + n(n − ١)(n − ٢)/٦. نقسم على n ونضرب في ٦: ٦(n − ١) = ٦ + (n − ١)(n − ٢) إذن n² − ٩n + ١٤ = ٠ وn = ٢ أو n = ٧. عندما n = ٢ لا يوجد T٤ فيكون n = ٧. التحقق: ٧, ٢١, ٣٥ و٢ × ٢١ = ٧ + ٣٥.
أوجد الحد الأكبر في (٤ + ٣x)¹¹ عندما x = ١. T(r+١)/T(r) = ((١٢ − r)/r)(٣/٤) ≥ ١ تعني ٣٦ − ٣r ≥ ٤r أي r ≤ ٣٦/٧ ونحو ٥٫١٤. فيكون T(r+١) ≥ T(r) حتى r = ٥ أي T٦ ≥ T٥ لكن T٧ < T٦. الحد الأكبر هو T٦ = ١١C٥ · ٤⁶ · ٣⁵ = ٤٦٢ × ٤٠٩٦ × ٢٤٣ = ٤٥٩٨٤١٥٣٦.
أوجد أكبر قيمة بين حدود (٢ − x)⁹ عندما x = ٣. تتبع الأحجام النسبة T(r+١)/T(r) = ((١٠ − r)/r)(٣/٢). وتساوي ١ عند r = ٦ (من ٣٠ − ٣r = ٢r)، فيتساوى حجم T٦ وT٧ ثم تنقص بعدهما. لكن T٦ فيه r = ٥ وهو قوة فردية للعدد −٣ فـ T٦ = −٤٨٩٨٨٨، بينما T٧ = ٩C٦ · ٢³ · ٣⁶ = ٨٤ × ٨ × ٧٢٩ = +٤٨٩٨٨٨. أكبر قيمة هي T٧ = ٤٨٩٨٨٨.
Class activity
الارتفاع والانخفاض. اكتب النسب (٧ − r)/r × ٢ لـ (١ + x)⁶ عند x = ٢ لقيم r من ١ إلى ٦ وعلّم أين تتوقف الحدود عن الارتفاع. أي حد هو الأكبر؟
Practice
1
معاملات ثلاثة حدود متتالية في (١ + x)ⁿ هي ٣٦, ٨٤, ١٢٦. أوجد n.
