تقاطع المستقيم والمستوى والزاوية بين مستويين والأبعاد
Week 14 · Where a line meets a plane, the angle between planes, parallel and perpendicular planes, the line of intersection of two planes, distances from a point to a plane and between parallel planes, the intercept form · 3 lessons
2
خط تقاطع مستويين، والبعد بين نقطة ومستوى
Pure Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 4, Lesson 2
Goalأوجد المستقيم الذي يتقاطع فيه مستويان، وأوجد البعد بين نقطة ومستوى.
New words
خط التقاطع · المستقيم المشترك بين مستويين غير متوازيين؛ واتجاهه n₁ × n₂البعد بين نقطة ومستوى · طول العمود المرسوم من النقطة على المستوىالمسقط على المتجه العمودي · البعد هو طول مسقط BA على n حيث B نقطة من المستوى
Explanation
المستويان غير المتوازيين يتقاطعان في مستقيم. ولإيجاده نستعمل حقيقتين. الاتجاه: المستقيم يقع في المستويين فهو عمودي على المتجهين العموديين، ولذلك d = n₁ × n₂. والنقطة: نختار إحداثيًا مناسبًا مثل z = ٠ (أو أي إحداثي يسهّل المعادلتين) ونحل المعادلتين بالنسبة إلى المجهولين الآخرين. فيكون المستقيم r = P + t d. تحقق أن P تحقق المعادلتين وأن n₁ · d = n₂ · d = ٠. والآن بعد النقطة A(x₁, y₁, z₁) عن مستوى. خذ أي نقطة B في المستوى الذي متجهه العمودي n. البعد هو طول مسقط المتجه BA على n أي |BA · n|/‖n‖. وفي الصورة الكارتيزية للمستوى ax + by + cz + d = ٠ يصير |ax₁ + by₁ + cz₁ + d|/√(a² + b² + c²). البسط هو معادلة المستوى بعد تعويض إحداثيات النقطة، والمقام طول المتجه العمودي. وفي الصورة المتجهة n · r = k يكون البعد نفسه |n · A − k|/‖n‖. والقيمة صفر تعني أن النقطة على المستوى.
ƒFormula
البعد = |ax₁ + by₁ + cz₁ + d| ÷ √(a² + b² + c²)
للنقطة (x₁, y₁, z₁) والمستوى ax + by + cz + d = ٠؛ والبسط هو معادلة المستوى بعد تعويض النقطة
قياس إلى حائط. اختر حائطًا ليمثل المستوى ونقطة في الغرفة. أوجد أقصر بعد بشريط قياس تمسكه عموديًا على الحائط. هل تعطي الصيغة النتيجة نفسها إذا جعلت الحائط x = ٠ والنقطة (x₁, y₁, z₁)؟ (الجواب |x₁| لأن n = (١, ٠, ٠).)
Practice
1
أوجد خط تقاطع المستويين x + ٢y − z = ٣ و٢x − y + z = ٠.
