تقاطع المستقيم والمستوى والزاوية بين مستويين والأبعاد
Answers are for parents and teachers.
1
أوجد نقطة تقاطع المستقيم r = (٢, −١, ٠) + t(١, ٣, ٢) مع المستوى x − y + ٢z = ٩.
النقطة (٢ + t, −١ + ٣t, ٢t). (٢ + t) − (−١ + ٣t) + ٤t = ٣ + ٢t = ٩ فيكون t = ٣ والنقطة (٥, ٨, ٦). التحقق: ٥ − ٨ + ١٢ = ٩.
2
أوجد الزاوية بين المستويين x + ٢y − ٢z = ٥ و٢x − ٣y + ٦z = ١.
حاصل الضرب القياسي ٢ − ٦ − ١٢ = −١٦ والطولان ٣ و٧ فيكون cos θ = ١٦/٢١ وθ ≈ ٤٠٫٤°.
3
أوجد خط تقاطع المستويين ٣x + y − ٢z = ٤ وx − y + z = ٠.
d = (٣, ١, −٢) × (١, −١, ١) = (١ × ١ − (−٢)(−١), −(٣ × ١ − (−٢) × ١), ٣ × (−١) − ١ × ١) = (−١, −٥, −٤) أي (١, ٥, ٤). عند z = ٠: ٣x + y = ٤ وx = y تعطيان x = y = ١. المستقيم r = (١, ١, ٠) + t(١, ٥, ٤). تحقق من الاتجاه: ٣ + ٥ − ٨ = ٠ و١ − ٥ + ٤ = ٠.
4
أوجد بعد النقطة (١, ٢, ٠) عن المستوى ٤x − ٤y + ٧z = ١٤.
|٤ − ٨ + ٠ − ١٤|/√(١٦ + ١٦ + ٤٩) = ١٨/٩ = ٢.
5
المستوى ٦x + ٤y + ٣z = ١٢ يقطع المحاور في A وB وC. اكتبه بصورة الأجزاء المقطوعة ثم أوجد مساحة المثلث ABC وبعد نقطة الأصل عن المستوى وحجم رباعي الوجوه OABC.
x/٢ + y/٣ + z/٤ = ١ فالنقط A(٢, ٠, ٠) وB(٠, ٣, ٠) وC(٠, ٠, ٤). AB × AC = (−٢, ٣, ٠) × (−٢, ٠, ٤) = (١٢, ٨, ٦) وطوله √٢٤٤ = ٢√٦١ فالمساحة √٦١ ≈ ٧٫٨١. بعد O عن المستوى ١٢/√٦١. الحجم ٢ × ٣ × ٤/٦ = ٤؛ والتحقق (١/٣) × √٦١ × ١٢/√٦١ = ٤.