☰ Year plan · Pure Mathematics (Arabic)

العمود على مستقيم والبعد عن مستقيم ومعادلة المستوى

Week 13 · A line meeting a given line at right angles, the distance from a point to a line, the equation of a plane in vector, standard and general form, a plane through three points or containing two lines · 3 lessons
3

المستوى المار بثلاث نقط، والمستوى المحتوي على مستقيمين

Pure Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 4, Lessons 1–2
Goalأوجد معادلة المستوى المار بثلاث نقط، والمستوى المحتوي على مستقيمين متقاطعين.
New words
نقط ليست على استقامة واحدة · ثلاث نقط ليست على مستقيم واحد؛ وهي تعين مستويًا واحدًا بالضبطالمتجه العمودي من الضرب الاتجاهي · ⁦n = AB × AC⁩ عمودي على ⁦AB⁩ و⁦AC⁩ فهو عمودي على المستوىنقط في مستوى واحد · نقط تقع في المستوى نفسه
Explanation

ثلاث نقط ⁦A, B, C⁩ ليست على مستقيم واحد تعين مستويًا واحدًا بالضبط. المتجهان ⁦AB⁩ و⁦AC⁩ يقعان في المستوى، وحاصل ضربهما الاتجاهي ⁦n = AB × AC⁩ عمودي عليهما معًا فهو متجه عمودي على المستوى. وإذا كان ⁦AB × AC⁩ المتجه الصفري فالنقط على استقامة واحدة وليس هناك مستوى وحيد. والآن نستعمل الدرس السابق: مع ⁦n⁩ والنقطة ⁦A⁩ نكتب ⁦n · r = n · A⁩. وتحقق دائمًا أن ⁦B⁩ و⁦C⁩ تحققان المعادلة النهائية. وقد يعطى المستوى بمستقيمين متقاطعين: أوجد أولًا نقطة تقاطعهما ⁦P⁩ كما في الأسبوع الثاني عشر. متجها اتجاههما ⁦d₁⁩ و⁦d₂⁩ يقعان في المستوى فالمتجه ⁦n = d₁ × d₂⁩ متجه عمودي والمستوى ⁦n · r = n · P⁩. وإذا كان المستقيمان متخالفين فلا يوجد مستوى يحويهما. ويبين الجدول الطريقتين متجاورتين.

ثم استعمل أي نقطة معلومة من المستوى، وتحقق من النقط الأخرى في المعادلة النهائية
المعطىمتجهان في المستوىالمتجه العمودي ⁦n⁩
ثلاث نقط ⁦A, B, C⁩⁦AB⁩ و⁦AC⁩⁦n = AB × AC⁩
مستقيمان متقاطعان⁦d₁⁩ و⁦d₂⁩⁦n = d₁ × d₂⁩
Worked examples
المستوى المار بالنقط ⁦A(٢‎, ١‎, ٠‎)⁩ و⁦B(٠‎, ٣‎, ١‎)⁩ و⁦C(١‎, ١‎, ٣‎)⁩. ⁦AB = (−٢‎, ٢‎, ١‎)⁩ و⁦AC = (−١‎, ٠‎, ٣‎)⁩. ⁦n = AB × AC = (٢‎ × ٣‎ − ١‎ × ٠‎, −(−٢‎ × ٣‎ − ١‎ × (−١‎)), −٢‎ × ٠‎ − ٢‎ × (−١‎)) = (٦‎, ٥‎, ٢‎)⁩. ⁦n · A = ١٢‎ + ٥‎ + ٠‎ = ١٧‎⁩ فيكون ⁦٦‎x + ٥‎y + ٢‎z = ١٧‎⁩. التحقق من ⁦B⁩: ⁦٠‎ + ١٥‎ + ٢‎ = ١٧‎⁩. ومن ⁦C⁩: ⁦٦‎ + ٥‎ + ٦‎ = ١٧‎⁩.
هل تعين النقط ⁦(١‎, ٢‎, ٣‎)⁩ و⁦(٣‎, ٤‎, ٥‎)⁩ و⁦(٥‎, ٦‎, ٧‎)⁩ مستويًا وحيدًا؟ ⁦AB = (٢‎, ٢‎, ٢‎)⁩ و⁦AC = (٤‎, ٤‎, ٤‎)⁩ متوازيان فيكون ⁦AB × AC⁩ المتجه الصفري: النقط الثلاث على مستقيم واحد وتمر بها مستويات كثيرة.
المستوى المحتوي على المستقيمين ⁦r₁ = (٠‎, ١‎, ٢‎) + s(١‎, ٢‎, −١‎)⁩ و⁦r₂ = (٣‎, ٤‎, −٢‎) + t(−١‎, ١‎, ٢‎)⁩. يتقاطعان عند ⁦s = ٢‎⁩ و⁦t = ١‎⁩ في النقطة ⁦P(٢‎, ٥‎, ٠‎)⁩. ⁦n = d₁ × d₂ = (٢‎ × ٢‎ − (−١‎) × ١‎, −(١‎ × ٢‎ − (−١‎)(−١‎)), ١‎ × ١‎ − ٢‎ × (−١‎)) = (٥‎, −١‎, ٣‎)⁩. ⁦n · P = ١٠‎ − ٥‎ + ٠‎ = ٥‎⁩ فيكون ⁦٥‎x − y + ٣‎z = ٥‎⁩. التحقق: النقطة ⁦(٠‎, ١‎, ٢‎)⁩ تعطي ⁦−١‎ + ٦‎ = ٥‎⁩ والنقطة ⁦(٣‎, ٤‎, −٢‎)⁩ تعطي ⁦١٥‎ − ٤‎ − ٦‎ = ٥‎⁩.
اختيار النقطة: في المستوى الأول تعطي أي من ⁦A⁩ أو ⁦B⁩ أو ⁦C⁩ الطرف الأيمن نفسه ⁦١٧‎⁩. وإذا اختلفت الأطراف اليمنى فهناك خطأ: أعد حساب الضرب الاتجاهي.
Class activity

ثلاثة دبابيس وكرتونة. ثبّت ثلاثة دبابيس مختلفة الارتفاع في كتلة من الصلصال وضع كرتونة جامدة على رءوسها: تستقر الكرتونة على الثلاثة جميعًا فثلاث نقط تعين مستويًا. أضف الآن دبوسًا رابعًا بأي ارتفاع. هل تلمسه الكرتونة أيضًا؟ (في الغالب لا: أربع نقط تقع في مستوى واحد في حالات خاصة فقط، كما في اختبار الأسبوع الحادي عشر.)

Practice
1
أوجد المستوى المار بالنقط ⁦A(١‎, ٠‎, ١‎)⁩ و⁦B(٢‎, ٢‎, ١‎)⁩ و⁦C(٠‎, ١‎, ٣‎)⁩.
2
أوجد المستوى المار بنقطة الأصل والنقطتين ⁦A(١‎, ٢‎, ٣‎)⁩ و⁦B(٢‎, −١‎, ٠‎)⁩.
3
هل تقع النقطة ⁦D(−١‎, −١‎, ٣‎)⁩ في مستوى السؤال الأول؟
4
أوجد المستوى المحتوي على المستقيمين ⁦(١‎, ١‎, ٠‎) + s(١‎, ٠‎, ١‎)⁩ و⁦(٢‎, ٠‎, ٣‎) + t(٠‎, ١‎, −٢‎)⁩ اللذين يتقاطعان في ⁦(٢‎, ١‎, ١‎)⁩.
5
لماذا لا يوجد مستوى يحوي المستقيمين ⁦(٠‎, ٠‎, ٠‎) + s(١‎, ٠‎, ٠‎)⁩ و⁦(٠‎, ١‎, ٠‎) + t(٠‎, ٠‎, ١‎)⁩؟