المستقيم في الفراغ: متجه الاتجاه وصور المعادلة الثلاث والزاوية بين مستقيمين
Answers are for parents and teachers.
1
اكتب المستقيم المار بالنقطتين A(−٢, ٣, ١) وB(١, −١, ٥) بالصور المتجهة والبارامترية والكارتيزية.
d = AB = (٣, −٤, ٤). المتجهة: r = (−٢, ٣, ١) + t(٣, −٤, ٤). البارامترية: x = −٢ + ٣t, y = ٣ − ٤t, z = ١ + ٤t. الكارتيزية: (x + ٢)/٣ = (y − ٣)/(−٤) = (z − ١)/٤.
2
للمستقيم (x − ١)/٢ = (y + ٢)/٣ = (٣ − z)/٦ أوجد نقطة منه وجيوب تمام اتجاهه، وهل تقع عليه (٥, ٤, −٩)؟
(٣ − z)/٦ = (z − ٣)/(−٦) فالنقطة (١, −٢, ٣) وd = (٢, ٣, −٦) و‖d‖ = ٧ وجيوب التمام (٢/٧, ٣/٧, −٦/٧). للنقطة (٥, ٤, −٩): (٥ − ١)/٢ = ٢ و(٤ + ٢)/٣ = ٢ و(−٩ − ٣)/(−٦) = ٢ وكلها متساوية فنعم.
3
أوجد الزاوية بين مستقيمين اتجاهاهما (٣, ٤, ١٢) و(١, −٢, ٢).
حاصل الضرب القياسي ٣ − ٨ + ٢٤ = ١٩ والطولان ١٣ و٣ فيكون cos θ = ١٩/٣٩ وθ ≈ ٦٠.٨°.
4
هل يتقاطع (٠, ١, ٢) + s(١, −١, ٢) مع (−١, ٠, ٣) + t(٣, −١, ٣)؟ وإذا تقاطعا ففي أي نقطة؟
x: s = −١ + ٣t؛ y: ١ − s = −t. بالتعويض ١ + ١ − ٣t = −t فيكون t = ١ وs = ٢. الثالثة: ٢ + ٤ = ٦ و٣ + ٣ = ٦ متفقتان. يتقاطعان في (٢, −١, ٦).
5
أثبت أن المستقيمين (١, ٠, ٠) + s(١, ٢, ٢) و(٠, ١, ٣) + t(٢, −١, ٠) متعامدان ومتخالفان.
(١, ٢, ٢) · (٢, −١, ٠) = ٢ − ٢ + ٠ = ٠ فهما متعامدان. x: ١ + s = ٢t؛ y: ٢s = ١ − t. ومنهما s = ١/٥ وt = ٣/٥. الثالثة: ٢s = ٢/٥ بينما ٣ + ٠t = ٣ وهما غير متفقتين فلا توجد نقطة مشتركة: متخالفان.