الضرب الاتجاهي بالإحداثيات (محدد 3 × 3) وخواصه وشرط التوازي
يكتب الكتاب A × B على صورة محدد ٣ × ٣ ولذلك نتعلم المحدد أولًا. المحدد ٢ × ٢ هو |a b; c d| = ad − bc: نضرب في القطر الرئيسي ونطرح حاصل ضرب القطر الآخر. ولنفك محدد ٣ × ٣ بالنسبة إلى الصف الأول نأخذ كل عدد من الصف الأول ونضربه في المحدد الصغير ٢ × ٢ الباقي بعد حذف صفه وعموده، ونعطي الحدود الثلاثة الإشارات + − +. إشارة الحد الأوسط سالبة، وهنا يقع الخطأ في أغلب الأحيان. اكتب الآن A = (Aₓ, Aᵧ, Az) وB = (Bₓ, Bᵧ, Bz). فيكون A × B هو المحدد الذي صفه الأول i, j, k وصفه الثاني A وصفه الثالث B. وبفكّه نحصل على A × B = (AᵧB_z − AzBᵧ) i − (AₓB_z − AzBₓ) j + (AₓBᵧ − AᵧBₓ) k. ويبين الجدول مصدر كل جزء. ولمتجهات المستوى Az = Bz = ٠ فلا يبقى إلا الجزء في k: A × B = (AₓBᵧ − AᵧBₓ) k. الخواص: A × B عمودي على كل من A وB (تحقق من ذلك دائمًا بضربين قياسيين فهو يكشف الأخطاء)؛ A × B = −B × A؛ A × (B + C) = A × B + A × C؛ (kA) × B = k(A × B). أما التوازي: فإن A × B يساوي المتجه الصفري إذا وفقط إذا كان A وB متوازيين (أو أحدهما صفريًا)، أي إذا وفقط إذا كانت المركبات متناسبة A = kB.
| مركبة في A × B | المحدد الصغير ٢ × ٢ | الإشارة |
|---|---|---|
| مركبة i | AᵧB_z − AzBᵧ | + |
| مركبة j | AₓB_z − AzBₓ | − |
| مركبة k | AₓBᵧ − AᵧBₓ | + |
بطاقة الضرب الاتجاهي. اكتب على بطاقة أجزاء القانون الثلاثة كما في الجدول، وتدرّب على المتجهين (١, ٠, ٢) و(٠, ١, −٣): الناتج (−٢, ٣, ١). ثم اختبره بضربين قياسيين يجب أن يساوي كل منهما ٠.