3
التشابه في المثلثات القائمة، والارتفاعات من الظل والمرآة
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 3, Lesson 2
Goalأستخدم الارتفاع المرسوم على الوتر لإيجاد أطوال، وأستخدم المثلثات المتشابهة لإيجاد ارتفاعات من الظل والمرآة.
New words
الوتر · أطول ضلع في المثلث القائم المقابل للزاوية القائمةالارتفاع · القطعة العمودية من رأس إلى الضلع المقابلالظل · المنطقة المظلمة خلف الجسم؛ وأشعة الشمس متوازيةالانعكاس · يسقط الشعاع على المرآة ويرتد بالزاوية نفسها
Explanation
نرسم الارتفاع AD من الزاوية القائمة A في المثلث القائم ABC إلى الوتر BC. فيقسم المثلث إلى مثلثين قائمين أصغر. المثلث DBA يشترك مع ABC في الزاوية B ولكل منهما زاوية قائمة، فـ△DBA ~ △ABC بالحالة AA. وبالطريقة نفسها △DAC ~ △ABC ومنه △DBA ~ △DAC. ومن النسب نحصل على ثلاث حقائق مفيدة: AD² = BD × DC وAB² = BD × BC وAC² = CD × BC. والمثلثات المتشابهة تقيس الارتفاعات أيضًا. ففي اللحظة نفسها تصنع الشمس زوايا متساوية مع الأرض، فالمثلث المكوّن من جسم وظله يشبه المثلث المكوّن من أي جسم آخر وظله. وعند وضع مرآة على الأرض تتساوى زاوية السقوط وزاوية الانعكاس، فيتشابه مثلث الشخص ومثلث البرج.
Worked examples
في المثلث القائم ABC (∠A = ٩٠°) حيث AB = ٣ وAC = ٤ وBC = ٥ وAD ⊥ BC. أوجد AD وBD وDC. من △DBA ~ △ABC: BD ÷ AB = AB ÷ BC فـBD = ٣² ÷ ٥ = ١٫٨. وبالمثل DC = ٤² ÷ ٥ = ٣٫٢. تحقق: BD + DC = ٥ ✓. AD² = BD × DC = ١٫٨ × ٣٫٢ = ٥٫٧٦ فـAD = ٢٫٤.
طالب طوله ١٫٦ م يلقي ظلًا طوله ١٫٢ م. وفي اللحظة نفسها يلقي عمود ظلًا طوله ٧٫٥ م. ما ارتفاع العمود؟ المثلثان القائمان زواياهما متساوية (AA) فنسبة الارتفاع إلى الظل واحدة: ١٫٦ ÷ ١٫٢ = h ÷ ٧٫٥ فـh = ٧٫٥ × ١٫٦ ÷ ١٫٢ = ١٠ م.
عينا ولد ترتفعان ١٫٥ م عن الأرض. يقف على بعد ٢ م من مرآة موضوعة على الأرض ويرى فيها قمة برج. تبعد المرآة ١٦ م عن قاعدة البرج. أوجد ارتفاع البرج. المثلثان قائمان والزاويتان عند المرآة متساويتان فهما متشابهان: h ÷ ١٦ = ١٫٥ ÷ ٢ فـh = ١٦ × ١٫٥ ÷ ٢ = ١٢ م.
Class activity
قياس بالظل. في يوم مشمس قِس طولك وطول ظلك، ثم ظل شجرة أو سارية أو جدار في الدقائق نفسها. استخدم المثلثات المتشابهة لتقدير ارتفاعه.
Practice
1
في المثلث القائم ABC (∠A = ٩٠°) وAD ⊥ BC وBD = ٩ وDC = ١٦. أوجد AD وAB وAC.
AD² = ٩ × ١٦ = ١٤٤ وAD = ١٢. BC = ٢٥. AB² = ٩ × ٢٥ = ٢٢٥ وAB = ١٥. AC² = ١٦ × ٢٥ = ٤٠٠ وAC = ٢٠.
2
لماذا يكون △DBA ~ △ABC في مثلث قائم مرسوم فيه الارتفاع AD؟
لكل منهما زاوية قائمة (∠ADB = ∠BAC = ٩٠°) ويشتركان في ∠B فتنطبق AA.
3
شخص طوله ١٫٨ م وظله ٢٫٤ م. وظل مبنى ٢٠ م في اللحظة نفسها. أوجد ارتفاعه.
١٫٨ ÷ ٢٫٤ = h ÷ ٢٠ فـh = ٢٠ × ١٫٨ ÷ ٢٫٤ = ١٥ م.
4
عينا شخص ترتفعان ١٫٦ م ويقف على بعد ٢٫٥ م من مرآة على الأرض، وتبعد المرآة ٢٠ م عن شجرة. أوجد ارتفاع الشجرة.
h ÷ ٢٠ = ١٫٦ ÷ ٢٫٥ فـh = ٢٠ × ١٫٦ ÷ ٢٫٥ = ١٢٫٨ م.
5
في المثلث ٣-٤-٥ أوجد المساحة بطريقتين: بالساقين ٣ و٤، وبالقاعدة ٥ والارتفاع AD. هل تحصل على المساحة نفسها؟
٣ × ٤ ÷ ٢ = ٦ و٥ × ٢٫٤ ÷ ٢ = ٦. نعم، المساحة نفسها.