2
حالة الأضلاع الثلاثة (SSS) وحالة ضلعين والزاوية المحصورة بينهما (SAS)
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 3, Lesson 2
Goalأحدد التشابه من ثلاثة أضلاع متناسبة، أو من ضلعين متناسبين والزاوية المحصورة بينهما.
New words
حالة SSS · أزواج الأضلاع الثلاثة المتناظرة لها النسبة نفسهاحالة SAS · زوجان من الأضلاع لهما النسبة نفسها والزاويتان المحصورتان بينها متساويتانالزاوية المحصورة · الزاوية التي يكوّنها الضلعان المعطيانترتيب الأضلاع · نقابل الأقصر بالأقصر وهكذا
Explanation
أحيانًا نعرف الأضلاع لا الزوايا. حالة SSS: إذا تناسبت أضلاع مثلث الثلاثة مع أضلاع مثلث آخر الثلاثة فالمثلثان متشابهان. وللاختبار نرتب أضلاع كل مثلث من الأقصر إلى الأطول ونقسم كل زوج؛ ويجب أن تتساوى النسب الثلاث. حالة SAS: إذا تناسب ضلعان في مثلث مع ضلعين في مثلث آخر وتساوت الزاويتان المحصورتان بين هذين الضلعين فالمثلثان متشابهان. ويجب أن تكون الزاوية هي المحصورة بينهما. أما ضلعان وزاوية غير محصورة بينهما (SSA) فلا تضمن التشابه. ولا تكفي نسبة واحدة متساوية للأضلاع: يجب أن تتفق كل النسب المطلوبة.
| الحالة | ما الذي يجب تحققه |
|---|---|
| AA | زوجان من الزوايا المتساوية |
| SSS | ثلاث نسب متساوية للأضلاع |
| SAS | نسبتان متساويتان وزاويتان محصورتان متساويتان |
| SSA | ليست حالة تشابه |
Worked examples
هل المثلثان اللذان أطوال أضلاعهما ٤, ٦, ٨ و٦, ٩, ١٢ متشابهان؟ نرتب الأضلاع: ٤ ÷ ٦ = ٢/٣ و٦ ÷ ٩ = ٢/٣ و٨ ÷ ١٢ = ٢/٣. النسب الثلاث متساوية: متشابهان (SSS) وk = ٢/٣. وماذا عن ٤, ٦, ٨ و٦, ٩, ١١؟ ٤ ÷ ٦ = ٦ ÷ ٩ = ٢/٣ لكن ٨ ÷ ١١ لا تساوي ٢/٣ فغير متشابهين.
في △ABC: AB = ٦ وAC = ٩ و∠A = ٤٠°. وفي △DEF: DE = ٨ وDF = ١٢ و∠D = ٤٠°. بيّن أنهما متشابهان وأوجد BC إذا كان EF = ١٠. AB ÷ DE = ٦/٨ = ٣/٤ وAC ÷ DF = ٩/١٢ = ٣/٤ والزاويتان المحصورتان ∠A = ∠D = ٤٠°. إذن △ABC ~ △DEF (SAS) وk = ٣/٤. ثم BC = ١٠ × ٣/٤ = ٧٫٥.
مستقيمان يتقاطعان في E. AE = ٦ وEC = ٩ وBE = ٤ وED = ٦ وCD = ١٢. أوجد AB. AE ÷ CE = ٦/٩ = ٢/٣ وBE ÷ DE = ٤/٦ = ٢/٣. والزاويتان ∠AEB و∠CED متقابلتان بالرأس فهما متساويتان. إذن △AEB ~ △CED (SAS) وk = ٢/٣ وAB = ١٢ × ٢/٣ = ٨.
Class activity
مثلثات القشّ. قصّ شرائح من القش لتصنع مثلثًا أضلاعه ٤ و٦ و٨ وحدات وآخر أضلاعه ٦ و٩ و١٢ وحدة. ضع أحدهما فوق الآخر بالاتجاه نفسه. هل تتطابق الزوايا؟ ثم جرّب ٦ و٩ و١١.
Practice
1
هل المثلثان اللذان أضلاعهما ٥, ١٢, ١٣ و١٠, ٢٤, ٢٦ متشابهان؟ أعطِ k.
٥ ÷ ١٠ = ١٢ ÷ ٢٤ = ١٣ ÷ ٢٦ = ١/٢. متشابهان (SSS) وk = ١/٢.
2
هل المثلثان اللذان أضلاعهما ٦, ٨, ٩ و٩, ١٢, ١٣ متشابهان؟
٦ ÷ ٩ = ٨ ÷ ١٢ = ٢/٣ لكن ٩ ÷ ١٣ لا تساوي ٢/٣. غير متشابهين.
3
△ABC: AB = ٦ وAC = ١٠ و∠A = ٥٥°. △DEF: DE = ٩ وDF = ١٥ و∠D = ٥٥°. بيّن التشابه وأوجد BC إذا كان EF = ١٢.
٦ ÷ ٩ = ١٠ ÷ ١٥ = ٢/٣ مع زاويتين محصورتين متساويتين: SAS. BC = ١٢ × ٢/٣ = ٨.
4
في △ABC: AB = ٦ وBC = ٩ و∠A = ٥٠°؛ وفي △DEF: DE = ٤ وEF = ٦ و∠D = ٥٠°. هل يمكن القول إنهما متشابهان؟
لا. الزاوية ∠A ليست محصورة بين AB وBC، فهذه SSA وليست حالة تشابه.
5
المثلثان اللذان أضلاعهما ٨, ١٠, ١٢ و٤, ٥, ٦ متشابهان. أوجد k من الأول إلى الثاني ونسبة المحيطين.
k = ٨ ÷ ٤ = ٢. المحيطان ٣٠ و١٥ والنسبة ٢.