3
المعكوس الجمعي والمعكوس الضربي (المقلوب) وخواص العمليات
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 2, Lesson 5
Goalأكتب المعكوس الجمعي والمعكوس الضربي لدالة نسبية، وأستخدم خواص الجمع والضرب.
New words
المعكوس الجمعي · −f الدالة التي يكون مجموعها مع f صفرًاالمعكوس الضربي · ١ ÷ f الدالة التي يكون حاصل ضربها في f واحدًا (f ≠ ٠)الإبدال · تغيير الترتيب لا يغيّر الناتج: f + g = g + fالعنصر المحايد · ٠ للجمع و١ للضرب: f + ٠ = f وf × ١ = f
Explanation
المعكوس الجمعي لـp ÷ q هو −p ÷ q: مثلًا المعكوس الجمعي لـ(x − ٢) ÷ (x + ٢) هو (٢ − x) ÷ (x + ٢) لأن (x − ٢) + (٢ − x) = ٠. والمعكوس الضربي (المقلوب) لـp ÷ q هو q ÷ p بشرط p ≠ ٠. ومجاله يستبعد أصفار p وq معًا، فمقلوب (x − ٥) ÷ (x − ١) هو (x − ١) ÷ (x − ٥) ومجاله R − {١, ٥}. وتخضع الدوال النسبية للخواص نفسها التي تخضع لها الأعداد، على المجال الذي تكون معرّفة فيه: الجمع والضرب إبداليان وتجميعيان، و٠ محايد الجمع و١ محايد الضرب، ولكل دالة معكوس جمعي، ولكل دالة غير صفرية معكوس ضربي.
| الخاصية | الجمع | الضرب |
|---|---|---|
| الإبدال | f + g = g + f | f × g = g × f |
| التجميع | (f + g) + h = f + (g + h) | (f × g) × h = f × (g × h) |
| المحايد | f + ٠ = f | f × ١ = f |
| المعكوس | f + (−f) = ٠ | f × (١ ÷ f) = ١ (f ≠ ٠) |
Worked examples
أوجد المعكوس الجمعي لـf(x) = (x − ٢) ÷ (x + ٢) وتحقق. المعكوس الجمعي −f(x) = (٢ − x) ÷ (x + ٢). تحقق: (x − ٢) ÷ (x + ٢) + (٢ − x) ÷ (x + ٢) = ((x − ٢) + (٢ − x)) ÷ (x + ٢) = ٠ ÷ (x + ٢) = ٠ لكل x ≠ −٢.
أوجد المعكوس الضربي لـf(x) = (x − ٥) ÷ (x − ١) ومجاله. المعكوس (x − ١) ÷ (x − ٥). وهو غير معرّف عند x − ٥ = ٠، والدالة الأصلية غير معرّفة عند x − ١ = ٠. المجال R − {١, ٥}. تحقق: f(x) × (١ ÷ f(x)) = (x − ٥) ÷ (x − ١) × (x − ١) ÷ (x − ٥) = ١.
ليكن f(x) = (x − ٤) ÷ (x − ١). حل ١ ÷ f(x) = ٣. المقلوب (x − ١) ÷ (x − ٤) ومجاله R − {١, ٤}. نحل (x − ١) ÷ (x − ٤) = ٣: x − ١ = ٣x − ١٢ إذن ٢x = ١١ وx = ١١/٢ وهي في المجال. تحقق: (٩/٢) ÷ (٣/٢) = ٣ ✓
Class activity
محقق الخواص. اختر f(x) = ١ ÷ x وg(x) = ١ ÷ (x + ١). بيّن بالكسور أن f + g = g + f وf × g = g × f. أي خاصية اختبرت؟ ثم أوجد f + ٠ وg × ١.
Practice
1
اكتب المعكوس الجمعي لـ(x + ١) ÷ (x − ٣).
−(x + ١) ÷ (x − ٣) = (−x − ١) ÷ (x − ٣). مجموعها مع الأصلية صفر.
2
أوجد مقلوب f(x) = (x + ٢) ÷ (x − ١) ومجاله.
(x − ١) ÷ (x + ٢). المجال: نستبعد أصفار x + ٢ وx − ١: R − {−٢, ١}.
3
ليكن f(x) = (x − ٣) ÷ (x + ١). حل ١ ÷ f(x) = ٢.
(x + ١) ÷ (x − ٣) = ٢ إذن x + ١ = ٢x − ٦ وx = ٧. المجال R − {−١, ٣}. تحقق: ٨ ÷ ٤ = ٢ ✓
4
تحقق من f + g = g + f عندما f = ١ ÷ x وg = ١ ÷ (x + ١).
كلا الترتيبين يعطي (x + ١ + x) ÷ (x(x + ١)) = (٢x + ١) ÷ (x(x + ١)). المجال R − {٠, −١}.
5
سمِّ الخاصية: (أ) f × (١ ÷ f) = ١؛ (ب) f + ٠ = f؛ (جـ) (f × g) × h = f × (g × h).
(أ) المعكوس الضربي؛ (ب) المحايد الجمعي؛ (جـ) خاصية التجميع للضرب.