2
ضرب الكسور الجبرية النسبية وقسمتها مع مجالاتها
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 2, Lesson 5
Goalأضرب الكسور الجبرية النسبية وأقسمها، وأجد مجال الناتج، ومنه القيد الإضافي في القسمة.
New words
المقلوب · الكسر بعد قلبه: مقلوب p ÷ q هو q ÷ pالحذف بالتقاطع · حذف عامل في أحد البسطين مع عامل في المقام الآخرالمقسوم عليه · الكسر الذي نقسم عليه، وهو الكسر الثانيالقيد الإضافي · في القسمة نستبعد أيضًا أصفار بسط المقسوم عليه
Explanation
لضرب كسرين نحلل كل شيء، ونحذف أي عامل يقع في بسط كسر وفي مقام أي من الكسرين، ثم نضرب ما بقي. ويُوجد المجال من المقامين الأصليين. ولقسمة p ÷ q على r ÷ s نضرب الكسر الأول في مقلوب الثاني: (p ÷ q) × (s ÷ r). نقلب الكسر الثاني فقط. وتحتاج القسمة إلى قيد إضافي: لا نقسم على صفر، فيلزم r ≠ ٠ أيضًا. إذن مجال ناتج القسمة يستبعد أصفار q وs وr. وهذا القيد الأخير سهل النسيان لأن r لا تظهر في مقام إلا بعد القلب.
| العملية | القاعدة | المجال يستبعد أصفار |
|---|---|---|
| الضرب | (p ÷ q) × (r ÷ s) = pr ÷ qs | q, s |
| القسمة | (p ÷ q) ÷ (r ÷ s) = ps ÷ qr | q, s, r |
Worked examples
اضرب (x + ٢) ÷ (x² − ٤x + ٣) × (x² − ١) ÷ (x² + ٣x + ٢). نحلل: x² − ٤x + ٣ = (x − ١)(x − ٣) وx² − ١ = (x − ١)(x + ١) وx² + ٣x + ٢ = (x + ١)(x + ٢). المجال: R − {١, ٣, −١, −٢}. حاصل الضرب (x + ٢)(x − ١)(x + ١) ÷ ((x − ١)(x − ٣)(x + ١)(x + ٢)). يُحذف كل شيء عدا (x − ٣): الناتج ١ ÷ (x − ٣) ومجاله R − {−٢, −١, ١, ٣}.
اقسم (x + ١) ÷ (x − ٢) على (x − ٣) ÷ (x + ٤). نضرب في مقلوب الثاني: (x + ١) ÷ (x − ٢) × (x + ٤) ÷ (x − ٣) = (x + ١)(x + ٤) ÷ ((x − ٢)(x − ٣)). المجال: أصفار المقامين x − ٢ وx + ٤ وأصفار بسط المقسوم عليه x − ٣: R − {٢, −٤, ٣}. لاحظ أن −٤ لا تظهر في الكسر الأخير لكنها تبقى مستبعدة.
اقسم (x² − ٤) ÷ (x + ٣) على (x − ٢) ÷ (x² − ٩). نضرب في (x² − ٩) ÷ (x − ٢): (x − ٢)(x + ٢)(x − ٣)(x + ٣) ÷ ((x + ٣)(x − ٢)) = (x + ٢)(x − ٣). المجال: المقامان x + ٣ وx² − ٩ يعطيان −٣ و٣؛ وبسط المقسوم عليه x − ٢ يعطي ٢؛ R − {−٣, ٣, ٢}. تحقق عند x = ١: (−٣ ÷ ٤) ÷ (−١ ÷ −٨) = −٣/٤ ÷ ١/٨ = −٦ و(٣)(−٢) = −٦ ✓
Class activity
اقلب الكسر الصحيح. اقسم ١/٢ ÷ ٣/٤ بالقاعدة (نقلب الثاني فقط). ثم جرّب قلب الأول وقارن. أيهما صحيح؟ تحقق بضرب إجابتك في ٣/٤.
Practice
1
اضرب x ÷ (x + ١) × (x² − ١) ÷ x².
x(x − ١)(x + ١) ÷ ((x + ١)x²) = (x − ١) ÷ x. المجال R − {−١, ٠}.
2
اقسم (x² − ٩) ÷ (x + ٢) على (x − ٣) ÷ (x + ٢).
نضرب في (x + ٢) ÷ (x − ٣) فالناتج x + ٣. المجال: x + ٢ تعطي −٢ وبسط المقسوم عليه x − ٣ يعطي ٣: R − {−٢, ٣}.
3
اضرب ٦ ÷ (x² − ١) × (x − ١) ÷ ٣.
٦(x − ١) ÷ (٣(x − ١)(x + ١)) = ٢ ÷ (x + ١). المجال R − {١, −١}.
4
اقسم (x² + x) ÷ (x − ٤) على (x + ١) ÷ (x² − ١٦) واذكر المجال.
x(x + ١) ÷ (x − ٤) × (x − ٤)(x + ٤) ÷ (x + ١) = x(x + ٤). المجال R − {٤, −٤, −١}.
5
في السؤال السابق، هل x = −١ مسموح مع أن x(x + ٤) لها قيمة عندها؟ فسّر.
لا. عند x = −١ يكون بسط المقسوم عليه صفرًا فنقسم على صفر. المجال يُحدَّد قبل التبسيط.