3
صورة الرأس f(x) = a(x − h)² + k: الرأس (h, k) ومسار كرة مقذوفة
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 2, Lesson 1
Goalأقرأ الرأس والمحور والقيمة العظمى أو الصغرى من صورة الرأس، وأستخدمها في مسألة كرة مقذوفة.
New words
صورة الرأس · f(x) = a(x − h)² + k ورأسها (h, k)الصورة القياسية · f(x) = ax² + bx + cدالة الارتفاع · قاعدة h(t) تعطي ارتفاع جسم بعد t ثانيةالمسار · الطريق المنحني لجسم مقذوف
Explanation
يمكن كتابة القطع المكافئ نفسه على الصورة f(x) = a(x − h)² + k. المربع لا يكون سالبًا أبدًا، فالمقدار (x − h)² يكون أصغر ما يمكن (صفرًا) عندما x = h، وعندها f(x) = k. وهذا يبيّن مباشرة أن الرأس (h, k) ومحور التماثل x = h. وإشارة a نفسها تحدد الفتحة. انتبه إلى الإشارات: في (x + ٢)² + ٤ لدينا x + ٢ = x − (−٢) إذن h = −٢ والرأس (−٢, ٤) وليس (٢, ٤). ولتحويل الصورة القياسية إلى صورة الرأس نجد الرأس أولًا؛ فيكون h = −b/٢a وk = f(h) وa كما هي. ومن تطبيقاتها الكرة المقذوفة: ارتفاعها دالة تربيعية في الزمن t، وأكبر ارتفاع هو القيمة k عند الرأس. والزمن لا يكون سالبًا، فنستخدم قيم t المعقولة فقط.
| الدالة | الرأس (h, k) | المحور | الفتحة | القيمة العظمى / الصغرى |
|---|---|---|---|---|
| ٢(x − ٣)² + ١ | (٣, ١) | x = ٣ | لأعلى | صغرى ١ |
| (x + ٥)² − ٢ | (−٥, −٢) | x = −٥ | لأعلى | صغرى −٢ |
| ٧ − (x − ٤)² | (٤, ٧) | x = ٤ | لأسفل | عظمى ٧ |
Worked examples
اذكر الرأس والمحور والقيمة القصوى للدالة f(x) = ٧ − (x − ٤)². نكتبها −(x − ٤)² + ٧: a = −١ وh = ٤ وk = ٧. الرأس (٤, ٧) والمحور x = ٤، وبما أن a < ٠ فالقيمة العظمى ٧.
اكتب f(x) = x² − ٦x + ٥ بصورة الرأس. الرأس (٣, −٤) وa = ١ فتكون f(x) = (x − ٣)² − ٤. تحقق: (x − ٣)² − ٤ = x² − ٦x + ٩ − ٤ = x² − ٦x + ٥ ✓
لاعب كرة قدم يركل كرة. ارتفاعها بالأمتار بعد t ثانية هو h(t) = −٥(t − ٢)² + ٢٠ حيث ٠ ≤ t ≤ ٤. الرأس (٢, ٢٠): أي أن الكرة تبلغ أعلى ارتفاع ٢٠ مترًا بعد ثانيتين. عند t = ٠: h = −٢٠ + ٢٠ = ٠ فتبدأ من الأرض. وعند t = ٤: h = −٢٠ + ٢٠ = ٠ فتعود إلى الأرض بعد ٤ ثوانٍ.
Class activity
فحص الإشارات. فُكَّ (x + ٢)² + ٤ و(x − ٢)² + ٤ وقارن بالرأس الذي تتوقعه. أي إشارة لـh تناسب كل قوس؟
Practice
1
أوجد الرأس والقيمة القصوى للدالة f(x) = ٣(x − ١)² + ٥.
الرأس (١, ٥)؛ a = ٣ > ٠ فالقيمة الصغرى ٥.
2
أوجد رأس الدالة f(x) = (x + ٤)² − ٣.
x + ٤ = x − (−٤) إذن h = −٤ والرأس (−٤, −٣).
3
اكتب f(x) = x² − ٤x + ١ بصورة الرأس.
الرأس (٢, −٣): f(x) = (x − ٢)² − ٣. تحقق: x² − ٤x + ٤ − ٣ ✓
4
النقطة (b, ٥) تقع على منحنى f(x) = −(x − ٢)² + ٩. أوجد b.
−(b − ٢)² + ٩ = ٥ إذن (b − ٢)² = ٤ وb − ٢ = ٢ أو −٢. إذن b = ٤ أو b = ٠.
5
ارتفاع كرة h(t) = ٢٠t − ٥t² مترًا بعد t ثانية. أوجد أكبر ارتفاع ومتى تعود إلى الأرض.
الرأس: t = −٢٠ ÷ (−١٠) = ٢ وh(٢) = ٤٠ − ٢٠ = ٢٠ م. تعود إلى الأرض عندما ٢٠t − ٥t² = ٠ أي ٥t(٤ − t) = ٠ فيكون t = ٤ ثوانٍ (وt = ٠ لحظة البداية).