2
رسم المنحنى: جدول القيم ومحور التماثل والفتحة إلى أعلى أو أسفل والقيمة العظمى أو الصغرى
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 2, Lesson 1
Goalأرسم منحنى الدالة التربيعية من جدول قيم، وأحدد هل يعطي رأسه قيمة عظمى أم صغرى.
New words
يفتح لأعلى / لأسفل · إذا كان a > ٠ فالذراعان إلى أعلى، وإذا كان a < ٠ فإلى أسفلالقيمة الصغرى · أصغر قيمة للدالة، عند الرأس عندما a > ٠القيمة العظمى · أكبر قيمة للدالة، عند الرأس عندما a < ٠جدول القيم · قائمة بقيم x وما يقابلها من f(x) لتعيين النقاط
Explanation
لرسم المنحنى: (١) نجد الرأس من x = −b/٢a؛ (٢) نختار قيمًا لـx على جانبي الرأس وبالبعد نفسه، لأن البعدين المتساويين يعطيان ارتفاعين متساويين؛ (٣) نحسب f(x) لكل قيمة؛ (٤) نعيّن النقاط ونصلها بمنحنى متصل؛ (٥) نرسم محور التماثل بخط متقطع. وإشارة a تحدد الشكل. إذا كان a > ٠ فالمنحنى يفتح لأعلى، والرأس أخفض نقطة، وللدالة قيمة صغرى. وإذا كان a < ٠ فيفتح لأسفل، والرأس أعلى نقطة، وللدالة قيمة عظمى. انتبه: القيمة العظمى أو الصغرى هي الإحداثي الصادي للرأس وليس الإحداثي السيني.
| إشارة a | الفتحة | الرأس هو | القيمة عند الرأس |
|---|---|---|---|
| a > ٠ | لأعلى | أخفض نقطة | قيمة صغرى |
| a < ٠ | لأسفل | أعلى نقطة | قيمة عظمى |
Worked examples
ارسم f(x) = −x² + ٤x + ١. هنا a = −١ < ٠ فيفتح المنحنى لأسفل. للرأس x = −٤ ÷ (−٢) = ٢ وf(٢) = −٤ + ٨ + ١ = ٥. نأخذ x من −١ إلى ٥ (ثلاث خطوات على كل جانب من ٢): f = −٤, ١, ٤, ٥, ٤, ١, −٤. والقيمة العظمى ٥ (عند x = ٢).
| x | ٠ | ١ | ٢ | ٣ | ٤ |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | ٣ | ٠ | −١ | ٠ | ٣ |
أوجد القيمة الصغرى للدالة f(x) = ٢x² − ١٢x + ٧. a = ٢ > ٠ فللدالة قيمة صغرى. x = ١٢ ÷ ٤ = ٣ وf(٣) = ١٨ − ٣٦ + ٧ = −١١. القيمة الصغرى −١١ (وليست ٣؛ فالعدد ٣ هو المكان الذي تحدث عنده).
Class activity
ارسمها بنفسك. على ورق مربعات عيّن منحنى f(x) = x² − ٢x − ٣ لقيم x من −٢ إلى ٤ باستخدام جدولك. اطْوِ الورقة على محور التماثل x = ١. هل ينطبق نصفا المنحنى تمامًا؟
Practice
1
أكمل جدول f(x) = x² − ٢x − ٣ لقيم x من −٢ إلى ٤، وسمِّ الرأس.
f = ٥, ٠, −٣, −٤, −٣, ٠, ٥. الرأس (١, −٤).
2
هل للدالة f(x) = −٣x² + ٦x + ٢ قيمة عظمى أم صغرى؟ أوجدها.
a = −٣ < ٠: قيمة عظمى. x = −٦ ÷ (−٦) = ١ وf(١) = −٣ + ٦ + ٢ = ٥. القيمة العظمى ٥.
3
اكتب معادلة محور تماثل f(x) = x² + ٨x + ٥.
x = −٨/٢ = −٤ فمحور التماثل x = −٤.
4
أوجد القيمة الصغرى للدالة f(x) = ٣x² − ٦x + ٥.
x = ٦/٦ = ١ وf(١) = ٣ − ٦ + ٥ = ٢. القيمة الصغرى ٢.
5
النقطة (٠, ٥) على منحنى f(x) = x² − ٦x + ٥. استخدم محور التماثل x = ٣ لإيجاد النقطة المناظرة لها بالارتفاع نفسه.
العدد ٠ يبعد ٣ وحدات يسار المحور، فالنقطة المناظرة ٣ وحدات يمين المحور: x = ٦. النقطة (٦, ٥) وf(٦) = ٣٦ − ٣٦ + ٥ = ٥ ✓.