3
الانحراف المعياري مع الفئات، وأي مجموعة أكثر اتساقًا
Mathematics Prep 3 Term 1, Unit 4, Lesson 1
Goalأحسب σ من جدول ذي فئات وأقارن اتساق مجموعتين.
New words
فئة · مدى من القيم مثل ١٠– (من ١٠ إلى أقل من ٢٠)مركز الفئة · منتصف الفئة وهو يمثل كل قيمهامتسق · قيمه متقاربة وله σ صغيرةتقدير · جواب تقريبي؛ مع الفئات لا نعرف القيم بدقة
Explanation
عندما تكون البيانات في فئات ١٠– و٢٠– و٣٠– و٤٠– لا نعرف كل قيمة، فنستخدم مركز الفئة: ١٥ و٢٥ و٣٥ و٤٥. ثم نعمل كما سبق مع التكرارات. مثال (دقائق انتظار ٢٠ زبونًا): f = ٤, ٦, ٨, ٢. الوسط (٤×١٥ + ٦×٢٥ + ٨×٣٥ + ٢×٤٥) ÷ ٢٠ = ٥٨٠ ÷ ٢٠ = ٢٩. الجدول يعطي Σ f(x − ٢٩)² = ١٦٨٠. إذن σ = √(١٦٨٠ ÷ ٢٠) = √٨٤ ≈ ٩٫١٧ دقيقة. وهذا تقدير لأن المركز يمثل الفئة كلها. ولمقارنة مجموعتين لهما الوسط نفسه تكون الأصغر σ أكثر اتساقًا. شركة حافلات وسط انتظارها ٢٩ دقيقة وσ = ٩٫١٧ أقل قابلية للتوقع من شركة وسطها ٢٩ وσ = ٣.
| الفئة | المركز x | f | f × (x − ٢٩)² |
|---|---|---|---|
| ١٠– | ١٥ | ٤ | ٧٨٤ |
| ٢٠– | ٢٥ | ٦ | ٩٦ |
| ٣٠– | ٣٥ | ٨ | ٢٨٨ |
| ٤٠– | ٤٥ | ٢ | ٥١٢ |
| المجموع | ٢٠ | ١٦٨٠ |
Worked examples
الجدول نفسه: الوسط ٢٩ وΣ f(x − x̄)² = ١٦٨٠ وn = ٢٠ فـσ² = ٨٤ وσ ≈ ٩٫١٧ دقيقة.
فريقان لهما الوسط نفسه ٧٠ نقطة في المباراة. للفريق A الانحراف σ = ٤٫٢ وللفريق B σ = ٩٫١. الفريق A أكثر اتساقًا لأن ٤٫٢ < ٩٫١.
مبيعات متجر اليومية بمئات الجنيهات مجمعة في ٠– و١٠– و٢٠– و٣٠– بتكرارات ٢, ٥, ٨, ٥. المراكز ٥ و١٥ و٢٥ و٣٥؛ الوسط ٤٦٠ ÷ ٢٠ = ٢٣؛ Σ f(x − ٢٣)² = ١٧٢٠؛ σ = √٨٦ ≈ ٩٫٢٧ (مئة جنيه).
Class activity
قارن فصلين. اخترع درجات مجموعتين من ٥ تلاميذ بالوسط نفسه لكن بتشتت مختلف. احسب σ لكل منهما وقل أيهما أكثر اتساقًا.
Practice
1
ما مراكز الفئات ٠– و١٠– و٢٠– و٣٠–؟
٥ و١٥ و٢٥ و٣٥.
2
فئات ٠– و١٠– و٢٠– و٣٠– بتكرارات ٢, ٥, ٨, ٥. أوجد الوسط.
(١٠ + ٧٥ + ٢٠٠ + ١٧٥) ÷ ٢٠ = ٢٣.
3
البيانات نفسها: Σ f(x − ٢٣)² = ١٧٢٠. أوجد σ.
√(١٧٢٠ ÷ ٢٠) = √٨٦ ≈ ٩٫٢٧.
4
الفصل A: الوسط ١٥ كجم وσ = ٢٫٥ كجم. الفصل B: الوسط ١٥ كجم وσ = ٤ كجم. أيهما أكثر اتساقًا؟
الفصل A لأن σ أصغر.
5
لماذا σ المحسوبة من الفئات تقدير فقط؟
لأن المركز يمثل كل قيم الفئة.