3
مراجعة الوحدة الثالثة: الأحداث والمسلمات والاحتمال الشرطي والاستقلال في مسائل متنوعة
Statistics Sec 3 Term 1, Units 1–3, Review
Goalأراجع الوحدة الثالثة في مسائل متنوعة: فضاء العينة والأحداث والمسلمات والاحتمال الشرطي والشجرات والاستقلال.
New words
أي أداة نستعمل؟ · نسرد النواتج في الفضاءات الصغيرة، ونستعمل جدولًا لصفتين، وشجرة للسحب بالترتيب، وشكل فن للتقاطعاتاختبار الاستقلال · P(A ∩ B) = P(A) × P(B)المتنافيان ليسا مستقلين · الحدثان المتنافيان باحتمالين موجبين غير مستقلين
Explanation
أعطتنا الوحدة الثالثة صندوق أدوات، ومعظم المسألة هو اختيار الأداة المناسبة. في التجربة الصغيرة نسرد النواتج المتساوية الفرص في جدول أو شجرة ثم نحسب P(A) = n(A) ÷ n(S). ومع حدثين نجد المناطق الأربع في شكل فن: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) وP(A′) = ١ − P(A) تأتيان من المسلمات. وعند ظهور عبارة «علمًا بأن» نصغّر فضاء العينة: P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B). وفي السحب بالترتيب تضرب الشجرة على طول المسار، وبدون إرجاع تتغير الفروع الثانية. ولاختبار الاستقلال نقارن P(A ∩ B) بـ P(A) × P(B)؛ وتذكّر أن الحدثين المتنافيين باحتمالين موجبين لا يكونان مستقلين أبدًا. وتخلط الأمثلة الثلاثة الآتية هذه الأدوات.
| الموقف | الأداة |
|---|---|
| تجربة واحدة نواتجها قليلة | قائمة أو جدول لـ S؛ P(A) = n(A) ÷ n(S) |
| حدثان بينهما تقاطع | شكل فن بمناطق أربع؛ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) |
| «علمًا بأن …» | فضاء عينة مصغّر؛ P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B) |
| سحبات بالترتيب | شجرة: نضرب على طول المسار؛ وبدون إرجاع تتغير الفروع الثانية |
| «هل هما مستقلان؟» | نقارن P(A ∩ B) بـ P(A) × P(B) |
Worked examples
| 1 | 2 | 3 | |
|---|---|---|---|
| H | H1 | H2 | H3 |
| T | T1 | T2 | T3 |
| الروبوتات | الفن | الشطرنج | المجموع | |
|---|---|---|---|---|
| فتيات | 18 | 30 | 12 | 60 |
| أولاد | 12 | 10 | 18 | 40 |
| المجموع | 30 | 40 | 30 | 100 |
شجرة. في كيس ٤ أقراص زرقاء وقرصان برتقاليان؛ يُسحب قرصان بدون إرجاع. P(زز) = ٤/٦ × ٣/٥ = ٢/٥؛ P(بب) = ٢/٦ × ١/٥ = ١/١٥؛ قرص من كل لون ٢ × ٤/٦ × ٢/٥ = ٨/١٥. وسؤال شرطي: P(الأول أزرق | الثاني برتقالي) = P(ز ثم ب) ÷ P(الثاني ب) = (٤/١٥) ÷ (٤/١٥ + ١/١٥) = ٤/٥.
Class activity
ألّف مسألة احتمال صغيرة من عندك تحتاج إلى أداتين، مثل جدول واحتمال شرطي، أو شجرة واختبار استقلال. اكتب السؤال على وجه بطاقة والحل الكامل على الوجه الآخر، ثم بدّل البطاقة مع زميل وحلّ كل منكما مسألة الآخر.
Practice
1
P(A) = ٠٫٥٥ وP(B) = ٠٫٤ وP(A ∪ B) = ٠٫٨. أوجد P(A ∩ B) وP(A فقط) وP(لا أحد منهما) وP(A | B). هل A و B مستقلان؟
P(A ∩ B) = ٠٫٥٥ + ٠٫٤ − ٠٫٨ = ٠٫١٥؛ P(A فقط) = ٠٫٤٠؛ P(لا أحد منهما) = ٠٫٢؛ P(A | B) = ٠٫١٥ ÷ ٠٫٤ = ٠٫٣٧٥. غير مستقلين: ٠٫٥٥ × ٠٫٤ = ٠٫٢٢ لا ٠٫١٥.
2
يُلقى حجرا نرد. A «المجموع ٧» و B «الحجر الأول فردي». هل A و B مستقلان؟
P(A) = ٦/٣٦ = ١/٦ وP(B) = ١/٢. A ∩ B = {(١, ٦), (٣, ٤), (٥, ٢)} فيكون P(A ∩ B) = ٣/٣٦ = ١/١٢ = ١/٦ × ١/٢. مستقلان.
3
في فصل ٣٦ تلميذًا يلعب ٢٠ الشطرنج ويمارس ١٥ الفن ويفعل ٦ الأمرين. يُختار تلميذ عشوائيًّا. أوجد P(الشطرنج | فنون) وP(فنون | الشطرنج) وP(لا أحد منهما).
P(الشطرنج | فنون) = ٦/١٥ = ٢/٥. P(فنون | الشطرنج) = ٦/٢٠ = ٣/١٠. واحدة على الأقل: ٢٠ + ١٥ − ٦ = ٢٩ فيكون P(لا أحد منهما) = ٧/٣٦.
4
خمس بطاقات مرقّمة من ١ إلى ٥؛ تُسحب بطاقتان بدون إرجاع. أوجد احتمال أن تكونا زوجيتين، وأن تكونا فرديتين، وأن يكون المجموع زوجيًّا.
زوجيتان (٢ و٤): ٢/٥ × ١/٤ = ١/١٠. فرديتان (١ و٣ و٥): ٣/٥ × ٢/٤ = ٣/١٠. يكون المجموع زوجيًّا تمامًا عندما يتفق العددان في الزوجية: ١/١٠ + ٣/١٠ = ٢/٥.
5
A و B مستقلان، P(A) = ٠٫٣ وP(B) = ٠٫٥. أوجد P(A ∪ B) وP(واحد فقط). وما قيمة P(A ∪ B) لو كان A و B متنافيين؟
P(A ∩ B) = ٠٫١٥ فيكون P(A ∪ B) = ٠٫٣ + ٠٫٥ − ٠٫١٥ = ٠٫٦٥ وP(واحد فقط) = ٠٫٦٥ − ٠٫١٥ = ٠٫٥. ولو كانا متنافيين: ٠٫٣ + ٠٫٥ = ٠٫٨.