الأسبوع 13 · Conditional probability: the reduced sample space, P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B), the multiplication rule, two-way tables, tree and Venn diagrams · 3 دروس
3
سحبتان بدون إرجاع على شجرة، وشكل فن لمجموعتين، ولماذا P(A | B) لا يساوي P(B | A)
Statistics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lesson 2
Goalأستعمل شجرة بيانية لسحبتين بدون إرجاع، وأقرأ الاحتمالات الشرطية من شكل فن، وأشرح لماذا يختلف P(A | B) عن P(B | A).
New words
بدون إرجاع · لا يُعاد العنصر المسحوب أولًاشجرة بيانية · على الفروع احتمالات، ونضرب على طول المسارP(A | B) ≠ P(B | A) · عكس الشرط يغيّر السؤال
Explanation
في كيس ٤ أقراص خضراء و٣ صفراء. يُسحب قرصان على التوالي دون إعادة الأول. على الشجرة (خ للأخضر وص للأصفر) يحمل الفرعان الأولان ٤/٧ و٣/٧. وبعد سحب قرص أخضر يبقى ٦ أقراص، ٣ خضراء و٣ صفراء، فيكون الفرعان الثانيان ٣/٦ و٣/٦؛ وهذه احتمالات شرطية P(الثاني | الأول). واحتمال المسار كله هو حاصل ضرب الاحتمالات على طوله، وهذه قاعدة الضرب: P(خ ثم خ) = ٤/٧ × ٣/٦ = ٢/٧. وتجيب الشجرة نفسها عن أسئلة شرطية: P(الأول خ | الثاني ص) = P(خ ثم ص) ÷ P(الثاني ص) = (٢/٧) ÷ (٢/٧ + ١/٧) = ٢/٣. ويؤدي شكل فن أو جدول أعداد العمل نفسه. فـ P(A | B) هو التقاطع مقسومًا على B كلها، وP(B | A) هو التقاطع نفسه مقسومًا على A كلها. ولأن المجموعتين يختلف حجماهما عادةً فإن الجوابين يختلفان عادةً.
شكل فن. من ٦٠ تلميذًا يستعير ٣٦ كتبًا من المكتبة (A) ويستعمل ٢٤ غرفة الحاسوب (B) ويفعل ١٢ الأمرين. إذن P(A) = ٠٫٦ وP(B) = ٠٫٤ وP(A ∩ B) = ٠٫٢. P(A | B) = ٠٫٢ ÷ ٠٫٤ = ٠٫٥ لكن P(B | A) = ٠٫٢ ÷ ٠٫٦ = ١/٣. والمناطق الأربع ٠٫٤ و٠٫٢ و٠٫٢ و٠٫٢ (٢٤ و١٢ و١٢ و١٢ تلميذًا).
عندما يقع أحد الحدثين داخل الآخر. في صندوق ٢٠ بطاقة: على ١٠ منها مستطيل، ٣ منها مربعات، وعلى ٦ دائرة وعلى ٤ مثلث. ليكن R «مستطيل» و Q «مربع» فيكون Q ⊂ R. P(Q | R) = (٣/٢٠) ÷ (١٠/٢٠) = ٠٫٣ لكن P(R | Q) = (٣/٢٠) ÷ (٣/٢٠) = ١: فبطاقة المربع مستطيل بالتأكيد.
Class activity
خذ ٤ أقلام حمراء و٣ زرقاء (أو أي سبعة أشياء من نوعين). اسحب قلمين دون النظر ودون إعادة الأول، وسجّل اللونين، ثم أعدهما. كرّر ذلك ٢٠ مرة. ما نسبة السحبات التي كان فيها القلمان حمراوين؟ قارنها بـ ٤/٧ × ٣/٦ = ٢/٧ ≈ ٠٫٢٩.
Practice
1
في كيس ٦ أقراص بيضاء و٣ سوداء. يُسحب قرصان بدون إرجاع. أوجد احتمال أن يكونا أبيضين، واحتمال أبيض ثم أسود، واحتمال قرص من كل لون.
P(A | B) = ٠٫١ ÷ ٠٫٣ = ١/٣؛ P(B | A) = ٠٫١ ÷ ٠٫٥ = ٠٫٢.
4
من ٤٠ تلميذًا هناك ٢٤ فتاة و١٠ في نادي التمثيل، وفي نادي التمثيل ٨ فتيات. أوجد احتمال فتاة علمًا بأنه في نادي التمثيل، واحتمال نادي التمثيل علمًا بأنها فتاة.
