الأسبوع 12 · Axioms of probability and their corollaries: 0 ≤ P ≤ 1, P(S) = 1, additivity, P(A′), P(A − B) and P(A ∪ B), and solving problems · 3 دروس
3
مسائل احتمال بمجاهيل وفي سياقات حياتية، والتحقق من إمكان وجود احتمالات مذكورة
Statistics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lesson 1
Goalأحلّ مسائل احتمال فيها مجاهيل وقصص، وأتحقق هل يمكن أن تكون الاحتمالات المذكورة صحيحة.
New words
مجهول · حرف مثل x لاحتمال لم نعرفه بعدنسبة الاحتمالات · احتمالات بنسبة ١ : ٢ : ٣ أي x و٢x و٣xالمدى الممكن · القيم المسموح بها لـ P(A ∩ B)
Explanation
كثير من المسائل تعطي علاقة بدلًا من عدد. نسمّي الاحتمال المجهول x ونكتب الاحتمالات الأخرى بدلالته، ونستعمل مسلّمة لتكوين معادلة: الأحداث المتنافية تعطي مجموعًا، ونواتج S يكون مجموع احتمالاتها دائمًا ١. والمهارة الثانية هي التحقق هل يمكن أن تكون الأعداد المذكورة صحيحة أصلًا. فلأي حدثين لا يزيد P(A ∩ B) على الأصغر من P(A) وP(B)، ولأن P(A ∪ B) لا يتجاوز ١ فلا بد أن P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ≤ ١ أي P(A ∩ B) ≥ P(A) + P(B) − ١. فالتقاطع يقع بين max(٠, P(A) + P(B) − ١) وmin(P(A), P(B)). وعندما يكون P(A) = ٠٫٦ وP(B) = ٠٫٧ تمتد القيم المسموح بها من ٠٫٣ إلى ٠٫٦ كما يبيّن الشكل. ومدرّبة تزعم أن P(الفوز في اليومين) = ٠٫٢ لهذين الاحتمالين مخطئة مهما بدت واثقة.
Worked examples
P(B) = ٣P(A) وP(A ∪ B) = ٠٫٦. إذا كان A و B متنافيين فإن P(A) + ٣P(A) = ٠٫٦ ومنه P(A) = ٠٫١٥ وP(B) = ٠٫٤٥. أما إذا كان A ⊂ B فإن A ∪ B = B فيكون P(B) = ٠٫٦ وP(A) = ٠٫٢. النص نفسه يعطي جوابين مختلفين باختلاف العلاقة.
لمؤشر دوّار ثلاث مناطق ألوان نسب احتمالاتها ١ : ٢ : ٣. نكتب P(a) = x وP(b) = ٢x وP(c) = ٣x. مجموع النواتج ١ فيكون ٦x = ١ وx = ١/٦. والاحتمالات هي ١/٦ و١/٣ و١/٢.
تقول مدرّبة: P(الفوز يوم السبت) = ٠٫٦ وP(الفوز يوم الأحد) = ٠٫٧ وP(الفوز في اليومين) = ٠٫٢. يجب أن يكون التقاطع على الأقل ٠٫٦ + ٠٫٧ − ١ = ٠٫٣ وعلى الأكثر ٠٫٦، فالقيمة ٠٫٢ مستحيلة. إذن العبارة خاطئة مهما كان اعتقاد المدرّبة.
Class activity
ألّف قصة عن حدثين في صفك، مثل التلاميذ الذين لديهم دراجة والتلاميذ الذين يحضرون وجبة من البيت. اختر بنفسك P(A) وP(B) وP(A ∩ B). استعمل المدى الممكن لتعرف أي قيم لـ P(A ∩ B) يحق لك اختيارها، ثم املأ المناطق الأربع.
Practice
1
A و B متنافيان وP(B) = ٢P(A) وP(A ∪ B) = ٠٫٤٥. أوجد P(A) وP(B).
