الأسبوع 11 · Operations on events, mutually exclusive events and the probability of an event when the outcomes are equally likely · 3 دروس
2
الأحداث المتنافية: A ∩ B = ∅، مع حجري النرد ومع النجاح والرسوب
Statistics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lesson 1
Goalأقرر هل حدثان أو أكثر متنافية بالبحث عن ناتج مشترك.
New words
أحداث متنافية · أحداث لا تقع معًا في المحاولة الواحدة: A ∩ B = ∅حدث بسيط · حدث له ناتج واحد فقطمتنافية مثنى مثنى · كل حدثين منها متنافيان
Explanation
يكون الحدثان متنافيين إذا كان وقوع أحدهما يجعل وقوع الآخر مستحيلًا في المحاولة نفسها، أي إذا لم يكن بينهما ناتج مشترك: A ∩ B = ∅. ففي رمية واحدة لحجر نرد يكون «عدد أولي» و«ستة» حدثين متنافيين لأن ٦ ليس أوليًّا؛ أما «زوجي» و«ستة» فليسا متنافيين لأن ٦ في الحدثين. وتكون عدة أحداث متنافية إذا كان كل حدثين منها متنافيين. وثمة أمران يجب حفظهما: الأحداث البسيطة متنافية دائمًا (لأن المحاولة تعطي ناتجًا واحدًا)، والحدث ومكمّله متنافيان دائمًا. أما العكس فخاطئ: فقد تكون أحداث متنافية وليست مكمّلة لبعضها. يبيّن الجدول حجري نرد. ليكن A «المجموع ٩» و B «العددان متساويان» و C «المجموع ١٠». يظهر المجموع ٩ في أربع خانات، وتقع الأزواج المتساوية على القطر ومجاميعها ٢ و٤ و…و١٢ كلها زوجية، فيكون A ∩ B = ∅. وكذلك A و C متنافيان لأن المجموع الواحد لا يكون ٩ و١٠ معًا. لكن B و C يشتركان في الزوج (٥, ٥) فهما غير متنافيين.
مجموع العددين على حجري النرد (الأول رأسيًّا والثاني أفقيًّا)
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Worked examples
في امتحان واحد لتلميذ واحد يكون «ينجح» و«يرسب» حدثين متنافيين (لا أحد ينجح ويرسب في الامتحان نفسه)، وهما أيضًا مكمّلان لبعضهما. وقارن حجر النرد: A = {١, ٢, ٣} وB = {٤, ٥, ٦} متنافيان ومكمّلان؛ أما A = {١, ٢} وB = {٥, ٦} فمتنافيان وليسا مكمّلين لأن ٣ و٤ لا يوجدان في أي منهما.
على مؤشر ذي اثني عشر قطاعًا ليكن A = {١, ٢, ٣} وB = {٤, ٥, ٦} وC = {٦, ٧, ٨}. لا يشترك A مع B في شيء ولا A مع C، لكن B و C يشتركان في ٦. إذن الأحداث A و B و C غير متنافية كمجموعة، مع أن اثنين من أزواجها الثلاثة متنافيان.
الزوج
النواتج المشتركة
متنافيان؟
A, B
—
نعم
A, C
—
نعم
B, C
5
لا
A, D
2
لا
أزواج من الأحداث في رمية واحدة لحجر نرد. ليكن A «أقل من ٣» = {١, ٢} و B «مضاعف للعدد ٥» = {٥} و C «أكبر من ٤» = {٥, ٦} و D «زوجي» = {٢, ٤, ٦}. نبحث في كل زوج عن ناتج مشترك.
Class activity
ارسم جدول ٦ × ٦ لمجاميع حجري النرد. لوّن خانات المجموع ٥ بلون وخانات المجموع ٧ بلون آخر. هل «المجموع ٥» و«المجموع ٧» متنافيان؟ ثم لوّن الخانات التي يظهر فيها ١ على الحجر الأول: هل «يظهر ١ على الحجر الأول» متنافٍ مع «المجموع ٥»؟
Practice
1
في رمية واحدة لحجر نرد ليكن A «عدد أولي» = {٢, ٣, ٥} وB = {٦} و C «زوجي» = {٢, ٤, ٦}. أي الأزواج متنافية؟
الزوج A و B فقط. فـ A و C يشتركان في ٢، و B و C يشتركان في ٦.
2
تُلقى قطعتا نقود. هل «صورتان» و«كتابتان» متنافيان؟ وهل «صورة واحدة على الأقل» و«كتابة واحدة على الأقل» متنافيان؟
الزوج الأول متنافٍ (لا اشتراك بين HH وTT). الزوج الثاني غير متنافٍ: فالناتجان HT وTH يوجدان في الحدثين.
3
حجرا نرد: هل «المجموع ٤» و«يظهر ١ على الحجر الأول» متنافيان؟
لا. فالزوج (١, ٣) مجموعه ٤ وفيه ١ على الحجر الأول، فهو في الحدثين معًا.
4
يقول كريم: «الأحداث المتنافية لا بد أن تكون مكمّلة لبعضها». أعط مثالًا يبيّن خطأه.
على حجر نرد الحدثان A = {١} وB = {٢} متنافيان، لكن A ∪ B = {١, ٢} لا يساوي S، فليسا مكمّلين.
5
بطاقات مرقّمة من ١ إلى ١٠: A = {٥, ١٠} وB = {١, ٤, ٩} وC = {٢, ٣, ٥, ٧}. أي الأزواج متنافية؟ وهل A و B و C متنافية كمجموعة؟
A و B متنافيان، وكذلك B و C؛ أما A و C فيشتركان في ٥. إذن الأحداث الثلاثة غير متنافية كمجموعة.
