الأسبوع 8 · Applications of similarity in the circle: intersecting chords, secants and a tangent, and their converses · 3 دروس
3
العكس: أربع نقاط على دائرة واحدة والشكل الرباعي الدائري ومستقيم يمس دائرة
Mathematics Sec 1 Term 1, Unit 2, Lesson 4
Goalأستخدم تساوي الحاصلين لإثبات أن أربع نقاط على دائرة أو أن مستقيمًا مماس.
New words
الشكل الرباعي الدائري · شكل رباعي تقع رءوسه الأربعة على دائرة واحدةالعكس · العبارة معكوسة: إذا تحققت قاعدة الحاصلين فالنقاط على دائرة واحدة
Explanation
تصح النظريات أيضًا بالعكس. عكس نظرية الوترين: إذا تقاطع المستقيمان AB وCD في E وكان EA × EB = EC × ED (وE داخل القطعتين معًا أو خارجهما معًا) فإن A, B, C, D على دائرة واحدة. السبب: تساوي الحاصلين يعطي EA/ED = EC/EB والزاوية عند E مشتركة (أو متقابلة بالرأس) فإن △EAC ~ △EDB بـ SAS ومنه ∠EAC = ∠EDB. وتساوي زاويتين تنظران إلى القطعة نفسها من الجهة نفسها يثبت أن النقاط الأربع على دائرة واحدة. وعكس نظرية المماس: إذا كان (AB)² = AC × AD وA, C, D على استقامة واحدة فإن AB يمس الدائرة المارة بـ B, C, D. ولاستخدام العكس نحسب الحاصلين ونقارن بينهما. فإن اختلفا فالنقاط ليست على دائرة واحدة.
إذا علمنا
فإن
EA × EB = EC × ED
النقاط A, B, C, D على دائرة واحدة
AD × AB = AE × AC
النقاط D, B, C, E على دائرة واحدة (DBCE شكل رباعي دائري)
(AB)² = AC × AD
AB يمس الدائرة المارة بـ B, C, D
Worked examples
D على AB وE على AC وAB = ١٠ وAD = ٦ وAC = ١٢ وAE = ٥. AD × AB = ٦ × ١٠ = ٦٠ وAE × AC = ٥ × ١٢ = ٦٠. الحاصلان متساويان فإن D, B, C, E على دائرة واحدة: DBCE شكل رباعي دائري.
وتران يتقاطعان في E داخلًا: EA = ٣ وEB = ٨ وEC = ٤ وED = ٦. ٣ × ٨ = ٢٤ = ٤ × ٦ فإن A, B, C, D على دائرة واحدة. ولو كان ED = ٥ لكان ٤ × ٥ = ٢٠ ≠ ٢٤ ولما كانت النقاط الأربع على دائرة واحدة.
A, C, D على استقامة واحدة وC بين A وD. AB = ٦ وAC = ٤ وAD = ٩. AC × AD = ٣٦ = AB² فإن AB يمس الدائرة المارة بـ B, C, D في B.
Class activity
اختبر نقاطك. ارسم مستقيمين يتقاطعان في E. علّم A, B على أحدهما وC, D على الآخر بحيث EA × EB = EC × ED (مثلًا ٢ × ٦ و٣ × ٤). ثم ارسم دائرة تمر بـ A, B, C: هل تمر بـ D؟
Practice
1
D على AB وE على AC: AD = ٣ وAB = ١٦ وAE = ٤ وAC = ١٢. هل D, B, C, E على دائرة واحدة؟
AD × AB = ٤٨ = AE × AC: نعم.
2
وتران يتقاطعان في E داخلًا: EA = ٣ وEB = ٨ وEC = ٥ وED = ٤. هل A, B, C, D على دائرة واحدة؟
٣ × ٨ = ٢٤ لكن ٥ × ٤ = ٢٠: لا.
3
AB = ١٠ وAC = ٥ وAD = ٢٠ وA, C, D على استقامة. هل AB مماس للدائرة المارة بـ B, C, D؟
AB² = ١٠٠ = ٥ × ٢٠ = AC × AD: نعم.
4
A, C, D على استقامة وAC = ٣ وAD = ١٢ وAB = ٥. هل AB مماس للدائرة المارة بـ B, C, D؟
AB² = ٢٥ لكن AC × AD = ٣٦: لا.
5
لماذا يجب أن نقارن الحاصلين قبل أن نقول إن أربع نقاط على دائرة واحدة؟
لا يعمل العكس إلا عندما EA × EB = EC × ED. فإذا اختلف الحاصلان فالنقاط ليست على دائرة واحدة.
