2
مماس وقاطع من نقطة واحدة خارج الدائرة: (EA)² = ED × EC
Mathematics Sec 1 Term 1, Unit 2, Lesson 4
Goalأستخدم علاقة المماس والقاطع (EA)² = ED × EC.
New words
قطعة المماس · القطعة من النقطة الخارجية إلى نقطة التماسالجزء الخارجي · جزء القاطع من E إلى أول نقطة D
Explanation
نأخذ نقطة E خارج الدائرة. المماس EA يمس الدائرة في A وقاطع من E يقطع الدائرة في D ثم في C. فإن (EA)² = ED × EC. وهذه هي نظرية القاطعين حين تتقارب نقطتا أحد القاطعين: يتحول القاطع الثاني إلى مماس فيكون EA × EA = EC × ED. تحقق بدائرة نصف قطرها ٣ ونقطة E تبعد ٥ عن المركز O. نصف القطر OA عمودي على المماس فبفيثاغورس EA² = ٥² − ٣² = ١٦ وEA = ٤. والقاطع المار بالمركز يقطع الدائرة على بعدين ٥ − ٣ = ٢ و٥ + ٣ = ٨ من E وED × EC = ٢ × ٨ = ١٦ ✓. استخدم في كل حالة القاطع كله EC والجزء الخارجي ED، ولا تكتب EA = ED × EC (فالمماس يُربّع). والمماسان من النقطة نفسها متساويان في الطول.
Worked examples
EA مماس وED = ٢ وDC = ٦. EC = ED + DC = ٨ فإن EA² = ED × EC = ٢ × ٨ = ١٦ وEA = ٤ سم.
EA = ١٠ مماس وDC = ٢١. لنفرض ED = x. فإن x(x + ٢١) = ١٠² = ١٠٠ وx² + ٢١x − ١٠٠ = ٠ و(x − ٤)(x + ٢٥) = ٠ فإن x = ٤. إذن ED = ٤ وEC = ٢٥ (للتحقق ٤ × ٢٥ = ١٠٠ ✓).
طول مماس ١٢ والجزء الخارجي من قاطع ٨. فإن EC = ١٤٤/٨ = ١٨ وDC = ١٨ − ٨ = ١٠.
Class activity
مماسان. ارسم دائرة وعيّن نقطة E خارجها وارسم المماسين من E بمثلث الرسم. قس طولي المماسين. ماذا تلاحظ؟
Practice
1
EA مماس وED = ٤ وEC = ١٦. أوجد EA وDC.
EA² = ٤ × ١٦ = ٦٤ فإن EA = ٨. وDC = ١٦ − ٤ = ١٢.
2
EA = ٦ مماس وDC = ٩. أوجد ED.
x(x + ٩) = ٣٦ وx² + ٩x − ٣٦ = ٠ و(x − ٣)(x + ١٢) = ٠ فإن ED = ٣.
3
دائرة نصف قطرها ٥. نقطة E تبعد ١٣ عن المركز. أوجد طول المماس من E.
نصف القطر عمودي على المماس: EA² = ١٣² − ٥² = ١٤٤ فإن EA = ١٢.
4
مماسان EA وEB من E لدائرة. EA = ٧ سم. أوجد EB وعلل.
EB = ٧ سم. مربع كل مماس يساوي الحاصل نفسه ED × EC.
5
كتب طالب EA² = ED × DC. ما الخطأ؟
العامل الثاني هو القاطع كله EC = ED + DC وليس DC.