3
مجموع الجذرين وحاصل ضربهما −b/a وc/a دون حل المعادلة
Mathematics Sec 1 Term 1, Unit 1, Lessons 2–3
Goalأوجد مجموع الجذرين وحاصل ضربهما من المعاملات، وأستخدمهما لإيجاد معاملات مجهولة.
New words
مجموع الجذرين · L + M = −b/aحاصل ضرب الجذرين · L × M = c/a
Explanation
لنسمِّ الجذرين L وM. من القانون L = (−b + √D)/٢a وM = (−b − √D)/٢a حيث D = b² − ٤ac. عند الجمع يختفي الجذر التربيعي فيكون L + M = −٢b/٢a = −b/a. وعند الضرب L × M = (b² − D)/٤a² = ٤ac/٤a² = c/a. وتصح هاتان الحقيقتان لكل معادلة تربيعية حتى لو كان الجذران مركبين، ولا نحتاج إلى حل المعادلة. تحقق من ٣x² − ٧x − ٦ = ٠ التي تتحلل إلى (٣x + ٢)(x − ٣): الجذران −٢/٣ و٣. مجموعهما ٧/٣ = −(−٧)/٣ وحاصل ضربهما −٢ = −٦/٣ ✓. تذكّر: اكتب المعادلة على الصورة القياسية أولًا، واحتفظ بالإشارة السالبة في −b/a، وحاصل الضرب هو c/a وليس −c/a.
ƒFormula
L + M = −b/a L × M = c/a
ax² + bx + c = ٠ حيث a ≠ ٠
Worked examples
أوجد مجموع جذري ٤x² = ٩ − ٦x وحاصل ضربهما دون حل. الصورة القياسية ٤x² + ٦x − ٩ = ٠ فإن a = ٤ وb = ٦ وc = −٩. المجموع −٦/٤ = −٣/٢ وحاصل الضرب −٩/٤.
مجموع جذري ٣x² + kx − ٥ = ٠ يساوي ٤. أوجد k. المجموع −k/٣ = ٤ فإن k = −١٢. والمعادلة ٣x² − ١٢x − ٥ = ٠.
أوجد مجموع جذري (٢x − ٣)(x + ٢) = ٠ وحاصل ضربهما. نفك: ٢x² + x − ٦ = ٠. المجموع −١/٢ وحاصل الضرب −٦/٢ = −٣. للتحقق بالجذرين ٣/٢ و−٢: ٣/٢ − ٢ = −١/٢ ✓ و٣/٢ × (−٢) = −٣ ✓.
Class activity
تحقق بنفسك. حل x² − ٩x + ٢٠ = ٠ بالتحليل، واجمع الجذرين واضربهما، وقارن بـ −b/a وc/a.
Practice
1
أوجد مجموع جذري x² − ٩x + ٢٠ = ٠ وحاصل ضربهما.
المجموع ٩ وحاصل الضرب ٢٠ (الجذران ٤ و٥).
2
أوجد مجموع جذري ٥x² + ١٠x − ٣ = ٠ وحاصل ضربهما.
المجموع −١٠/٥ = −٢ وحاصل الضرب −٣/٥.
3
أوجد مجموع جذري ٣x² = ٢x + ٨ وحاصل ضربهما.
٣x² − ٢x − ٨ = ٠: المجموع ٢/٣ وحاصل الضرب −٨/٣ (الجذران ٢ و−٤/٣).
4
مجموع جذري ٢x² + kx + ٦ = ٠ يساوي ٧/٢. أوجد k والجذرين.
−k/٢ = ٧/٢ فإن k = −٧. ثم ٢x² − ٧x + ٦ = (٢x − ٣)(x − ٢) والجذران ٣/٢ و٢ (حاصل الضرب ٣ = ٦/٢ ✓).
5
حاصل ضرب جذري ٤x² − ١٢x + c = ٠ يساوي ٢. أوجد c والجذرين.
c/٤ = ٢ فإن c = ٨. ثم ٤x² − ١٢x + ٨ = ٤(x − ١)(x − ٢) والجذران ١ و٢ ومجموعهما ٣ = ١٢/٤ ✓.