الأسبوع 2 · The discriminant and the type of the two roots of a quadratic equation, and the sum and product of the two roots · 3 دروس
2
استخدام المميز: إيجاد المجهول k لجذرين متساويين وحل المعادلة بالقانون العام عندما يكون الجذران مركبين
Mathematics Sec 1 Term 1, Unit 1, Lessons 2–3
Goalأوجد معاملًا مجهولًا من نوع الجذرين، وأحل معادلة جذراها مركبان.
New words
الصورة القياسية · ax² + bx + c = ٠ وكل الحدود في طرف واحدلا جذور حقيقية · المميز سالب (الجذران مركبان وليسا غير موجودين)
Explanation
حين تحتوي المعادلة على مجهول k فإن نوع الجذرين يعطي شرطًا على k. جذران متساويان: b² − ٤ac = ٠. جذران حقيقيان مختلفان: b² − ٤ac > ٠. جذران مركبان: b² − ٤ac < ٠. وهذه ثلاثة شروط مختلفة فاقرأ الصياغة بعناية. أولًا اجمع كل الحدود في طرف واحد واقرأ a وb وc (وقد تحتوي k). ثم اكتب المميز وساوِه بالصفر أو قارنه به وحل لإيجاد k. وإذا كان الشرط معادلة مثل (k − ٣)² = ١٦ فتذكّر الحلين k − ٣ = ٤ وk − ٣ = −٤. وانتبه للعبارة: المميز السالب يعني لا جذور حقيقية، لكن يبقى جذران مركبان نجدهما بالقانون، فمثلًا ٢x² − ٢x + ٥ = ٠ مميزها ٤ − ٤٠ = −٣٦ فإن x = (٢ ± ٦i)/٤ = (١ ± ٣i)/٢.
لأي قيم k يكون لـ kx² − ٨x + ٤ = ٠ جذران مركبان؟ b² − ٤ac = ٦٤ − ١٦k < ٠ فإن ١٦k > ٦٤ أي k > ٤. (للتحقق عند k = ٥: ٦٤ − ٨٠ = −١٦ < ٠ ✓.)
Class activity
متساويان أم مختلفان أم مركبان؟ اختر أي عدد لـ k في x² − ٦x + k = ٠ وحدّد نوع الجذرين. ثم جرّب k = ٩ وk = ٥ وk = ١٢. أي قيمة لـ k تفصل الجذور الحقيقية عن المركبة؟
Practice
1
أوجد k إذا كان لـ x² + ٢kx + ٢٥ = ٠ جذران متساويان.
٤k² − ١٠٠ = ٠ فإن k² = ٢٥ وk = ٥ أو k = −٥.
2
لأي قيم k يكون لـ x² − ٦x + k = ٠ جذران حقيقيان مختلفان؟
