الزوايا المتكافئة · زوايا تختلف بعدد صحيح من الدوراتالسعة · أكبر بُعد عن الخط الأوسطالزاوية المرجعية · الزاوية الحادة المستخدمة لإيجاد النسبة
Explanation
قائمة مراجعة للوحدة الثالثة. (١) π راديان = ١٨٠°؛ ℓ = θ × r. (٢) الزوايا المتكافئة تختلف بمضاعفات ٣٦٠°؛ ونجد أصغر موجبة بإضافة دورات أو طرحها. (٣) على نقطة (x, y) وr = √(x² + y²): sin = y/r وcos = x/r وtan = y/x. (٤) الإشارات: الكل، الجيب، الظل، جيب التمام. (٥) القيم الخاصة لـ ٣٠° و٤٥° و٦٠°. (٦) الزوايا المرتبطة ١٨٠° ± θ و٣٦٠° − θ تبقي الدالة؛ و٩٠° ± θ و٢٧٠° ± θ تحوّلها إلى متممتها؛ والإشارة من الربع. (٧) sin α = cos β بزوايا حادة تعني α + β = ٩٠°. (٨) y = a sin θ وy = a cos θ: السعة |a| والدورة ٢π. (٩) لإيجاد زاوية من نسبة نستخدم الزاوية المرجعية والربعين.
المقدار
القيمة
sin ٣٣٠°
−١/٢
cos ٢٢٥°
−√٢/٢
tan ١٢٠°
−√٣
sin(−٦٠°)
−√٣/٢
Worked examples
حوّل ١٥٠° إلى راديان (٥π/٦) و٧π/٤ إلى درجات (٣١٥°). في دائرة نصف قطرها ٨ م تقطع زاوية ٣π/٤ قوسًا ℓ = ٣π/٤ × ٨ = ٦π ≈ ١٨٫٨٥ م.
يمر الضلع النهائي بالنقطة (−٨, −١٥). r = ١٧ وsin θ = −١٥/١٧ وcos θ = −٨/١٧ وtan θ = ١٥/٨ (الربع الثالث: tan وحده موجب ✓). وإذا كان sin θ = −٤/٥ وcos θ > ٠ فإن cos θ = ٣/٥ وtan θ = −٤/٣.
حل sin ٤x = cos(x + ٢٠°) بزوايا حادة: ٤x + x + ٢٠° = ٩٠° وx = ١٤°. تحقق: sin ٥٦° = cos ٣٤° ✓. ولـ ٠° ≤ θ < ٣٦٠° فإن cos θ = ٠٫٥ تعطي θ = ٦٠° أو ٣٠٠°.
للمنحنى y = −٣ cos θ سعة ٣ ومدى [−٣, ٣] ودورة ٢π. منحدر طوله ٦ م يرتفع ٠٫٩ م: sin θ = ٠٫١٥ فإن θ ≈ ٨٫٦٣°.
Class activity
جولة سريعة. في أزواج يقول أحد الطالبين زاوية (مثل ٢π/٣ و٢٢٥° و−٩٠° و٤٠٥°) ويعطي الآخر ربعها وأصغر قياس موجب لها وجيبها. بدّلا الدورين بعد خمس زوايا.
Practice
1
حوّل ٥π/٣ إلى درجات و١٣٥° إلى راديان.
٣٠٠° و٣π/٤.
2
يمر الضلع النهائي بالنقطة (٥, −١٢). أوجد sin θ وcos θ وtan θ.
