2
مراجعة: تشابه المضلعات والمثلثات والمساحات والأوتار والمماسات والأجزاء المتناسبة ومنصّفات الزوايا
Mathematics Sec 1 Term 1, Units 1–4, Review
Goalأراجع الوحدة الثانية بمسائل جديدة متنوعة.
New words
معامل التشابه · k: نسبة الأطوال المتناظرةالقاطع · مستقيم يقطع الدائرة في نقطتينالأجزاء المتناسبة · قطع مستقيمة تقطعها المتوازيات بنسب متساوية
Explanation
قائمة مراجعة للوحدة الثانية. (١) الأشكال المتشابهة: زوايا متساوية وأضلاع بنسبة k؛ ونسبة المحيطين k ونسبة المساحتين k². (٢) يكفي AA للمثلثات. (٣) وتران يتقاطعان في E: EA × EB = EC × ED. وقاطعان من نقطة خارجية E: EA × EB = EC × ED. ومماس EA وقاطع: EA² = EC × ED. (٤) مستقيم يوازي BC ويقطع AB في D وAC في E يعطي AD/DB = AE/EC وDE/BC = AD/AB. (٥) المنصّف الداخلي من A يقسم BC بنسبة AB : AC والخارجي بالنسبة نفسها من الخارج؛ وAD² = AB × AC − BD × DC. (٦) في مقياس الرسم نضرب الأطوال في المقياس والمساحات في مربع المقياس.
Worked examples
مضلعان متشابهان معامل التشابه ٣/٢. ضلع ٨ سم يصبح ١٢ سم ومحيط ٣٠ سم يصبح ٤٥ سم ومساحة ٤٠ سم² تصبح ٤٠ × ٩/٤ = ٩٠ سم².
على خريطة مقياسها ١ : ٥٠ ٠٠٠ طول طريق ٤٫٢ سم، فطوله الحقيقي ٤٫٢ × ٥٠ ٠٠٠ = ٢١٠ ٠٠٠ سم = ٢١٠٠ م = ٢٫١ كم. ومربع ١ سم² على الخريطة يمثل ٥٠٠ م × ٥٠٠ م = ٢٥٠ ٠٠٠ م² = ٢٥ هكتارًا.
الوتران AB وCD يتقاطعان في E داخل دائرة وEA = ٤ وEB = ٩ وEC = ٦. EA × EB = EC × ED تعطي ٣٦ = ٦x فإن ED = ٦.
من E مماس EA وقاطع يمر بـ C وD وEC = ٤ وCD = ٥. ED = ٩ فإن EA² = EC × ED = ٣٦ وEA = ٦.
DE ∥ BC وD على AB وE على AC وAD = ٦ وDB = ٤ وAE = ٩. ٦/٤ = ٩/EC تعطي EC = ٦؛ وDE/BC = ٦/١٠ فإذا كان BC = ٢٠ فإن DE = ١٢. المنصّف: AB = ١٥ وAC = ٩ وBC = ١٦ تعطي BD/DC = ٥/٣ وBD = ١٠ وDC = ٦ وAD² = ١٣٥ − ٦٠ = ٧٥.
Class activity
مسح مصغّر. ارسم مخططًا لصفك بمقياس ١ : ٥٠ (٢ سم لكل ١ م). قس طول الأرضية وعرضها واحسب المساحة الحقيقية بالمتر المربع ومساحة المخطط بالسنتيمتر المربع وتحقق أن نسبة المساحتين ٢٥٠٠.
Practice
1
مثلثان متشابهان مساحتاهما ٥٤ سم² و٢٤ سم². أوجد نسبة أضلاعهما.
نسبة المساحتين ٩/٤ فإن k = ٣/٢.
2
الوتران AB وCD يتقاطعان في E: EA = ٣ وEB = ٨ وEC = ٤. أوجد ED.
٢٤ = ٤ × ED وED = ٦.
3
مماس من E طوله ١٠ وجزء القاطع الخارجي ٤. أوجد القاطع كله.
١٠٠ = ٤ × الكل فالقاطع كله ٢٥.
4
AD ينصّف ∠A: AB = ١٢ وAC = ٢٠ وBC = ٢٤. أوجد BD وDC.
النسبة ٣/٥ و٨ أجزاء لـ ٢٤: BD = ٩ وDC = ١٥.
5
حقل على خريطة مقياسها ١ : ٢٠ ٠٠٠ مساحته ٦ سم². أوجد مساحته الحقيقية بالهكتار.
١ سم = ٢٠٠ م فإن ١ سم² = ٤٠ ٠٠٠ م² = ٤ هكتارات؛ و٦ سم² = ٢٤ هكتارًا.