نظرية ديموافر والجذور النونية والجذور التربيعية للأعداد المركبة
Week 6 · De Moivre’s theorem, n-th roots of a complex number, square roots of a complex number and quadratic equations with complex coefficients · 3 lessons
2
الجذور النونية للعدد المركب، وتمثيلها رءوس مضلع منتظم في مستوى أرجاند
Pure Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 2, Lesson 2
Goalأوجد الجذور النونية جميعها للمعادلة Zⁿ = a، وأكتبها بالصورة الجبرية، وأمثلها في مستوى أرجاند.
New words
الجذر النوني · عدد Z يحقق Zⁿ = aالمضلع المنتظم · مضلع أضلاعه متساوية وزواياه متساوية، وتقع رءوسه على دائرةزاوية الخطوة · ٣٦٠° ÷ n، وهي الدوران من جذر إلى الجذر الذي يليه
Explanation
المعادلة Zⁿ = a حيث a عدد مركب وn عدد صحيح موجب لها بالضبط n من الحلول المختلفة تسمى الجذور النونية للعدد a. ولإيجادها نكتب a بالصورة المثلثية r(cos θ + i sin θ). وإضافة أي عدد صحيح من اللفات الكاملة إلى θ تعطي العدد a نفسه، فيكون a = r(cos(θ + ٣٦٠°k) + i sin(θ + ٣٦٠°k)). ثم نأخذ الجذر النوني بنظرية ديموافر: Z = r^(١/n) (cos((θ + ٣٦٠°k)/n) + i sin((θ + ٣٦٠°k)/n)) حيث k = ٠, ١, …, n − ١. وبعد n من القيم تتكرر الزوايا، فيكون عدد الجذور n بالضبط. وبالتقدير الدائري نستبدل ٢π بالقيمة ٣٦٠°. والهندسة هنا جميلة: لكل الجذور المقياس نفسه r^(١/n) فتقع على دائرة واحدة مركزها O. وتزداد سعاتها بالخطوة نفسها ٣٦٠°/n فتكون الجذور رءوس مضلع منتظم عدد أضلاعه n. فإذا وجدت جذرًا واحدًا أمكنك إيجاد الباقي بتدويره حول O بزاوية الخطوة مرة بعد مرة. يبين الشكل الجذور الستة للمعادلة Z⁶ = ٦٤.
Worked examples
حل المعادلة Z³ = ٢٧i. نكتب ٢٧i = ٢٧(cos ٩٠° + i sin ٩٠°). مقياس كل جذر ٢٧^(١/٣) = ٣ وسعاتها (٩٠° + ٣٦٠°k)/٣ = ٣٠°, ١٥٠°, ٢٧٠°. فالجذور هي ٣(cos ٣٠° + i sin ٣٠°) = (٣√٣/٢) + (٣/٢)i و٣(cos ١٥٠° + i sin ١٥٠°) = −(٣√٣/٢) + (٣/٢)i و٣(cos ٢٧٠° + i sin ٢٧٠°) = −٣i. وبالصورة الأسية: ٣e^(iπ/٦) و٣e^(٥iπ/٦) و٣e^(−iπ/٢). وهي رءوس مثلث متساوي الأضلاع.
الجذور الستة للمعادلة Z⁶ = ٦٤ في الشكل أعلاه. المقياس ٦٤^(١/٦) = ٢ وسعة العدد ٦٤ تساوي ٠°، فالسعات ٠°, ٦٠°, ١٢٠°, ١٨٠°, ٢٤٠°, ٣٠٠°. والجذور ٢ و١ + √٣ i و−١ + √٣ i و−٢ و−١ − √٣ i و١ − √٣ i. وهي رءوس سداسي منتظم طول ضلعه يساوي نصف القطر ٢.
Class activity
دوّر جذرًا. ارسم بالفرجار دائرة نصف قطرها ٢ سم وعيّن عليها رءوس ثماني منتظم تبدأ من الاتجاه الموجب لمحور السينات وبينها ٤٥° (استعمل المنقلة). هذه هي الجذور الثمانية للعدد ٢٥٦ = ٢⁸. أي أربعة رءوس تمثل الأعداد ٢, ٢i, −٢, −٢i؟ وأي رأس يمثل √٢(١ + i) ولماذا مقياسه ٢؟
أحد الجذور الخمسة الخامسة للعدد a هو ٢(cos ٢٤° + i sin ٢٤°). اكتب الجذور الأربعة الأخرى وأوجد a.
نزيد ٧٢° في كل مرة: ٢(cos ٩٦° + i sin ٩٦°) ثم السعات ١٦٨° و٢٤٠° و٣١٢° (أي −٤٨°) ومقياس كل منها ٢. وa = ٢⁵(cos ١٢٠° + i sin ١٢٠°) = ٣٢(cos ١٢٠° + i sin ١٢٠°).
